Równania Lagrange’a II rodzaju

Strona główna » Mechanika » Dynamika » Mechanika analityczna » Równania Lagrange’a II rodzaju

Wstęp teoretyczny

Rozwiń

Uwaga ogólna 1

Istnieje kilka wariantów zapisu równań Lagrange’a II rodzaju.
Najprościej, moim zdaniem, korzystając z definicji lagrangianu:

\begin{aligned} &\mathcal{L}=E_k-E_p\\ &\frac{d}{dt}\left(\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\dot{q}}\right)-\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta q}=Q\\ \end{aligned}

Gdzie q – współrzędna uogólniona, Q – siły uogólnione.
Ten zapis będzie preferowany, jest uniwersalny – w niektórych zagadnieniach energia kinetyczna może być uzależniona wprost od współrzędnej uogólnionej, ale podstawowy zapis jest inny:

\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\delta E_k}{\delta\dot{q}}\right)-\frac{\delta E_k}{\delta q}=Q \end{aligned}

Ale wyróżniając z sił uogólnionych siły w polu potencjalnym:

\begin{aligned} &Q=-\frac{\delta E_p}{\delta t}\\ & \frac{d}{dt}\left(\frac{\delta E_k}{\delta\dot{q}}\right)-\frac{\delta E_k}{\delta q}=Q-\frac{\delta E_p}{\delta q}\\ & \frac{d}{dt}\left(\frac{\delta E_k}{\delta\dot{q}}\right)-\frac{\delta E_k}{\delta q}+\frac{\delta E_p}{\delta q}=Q\\ \end{aligned}

Otrzymuje w ten sposób ostatni sposób zapisu, oczywiście wyniki będą takie same, ale w zależności od zadania czasami prościej będzie używać innego wariantu (szczególnie dotyczy to zadań ze sprężynami).

Uwaga ogólna 2

Pomocniczo – wyprowadzenie wzoru uproszczonego na E_k dla jednorodnego krążka.

\begin{aligned} & E_k=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}I\omega^2\\ & I=\frac{mR^2}{2}\\ & v=\omega r\\ & E_k=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}\frac{mR^2}{2}\frac{v^2}{R^2}=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{4}mv^2=\frac{3}{4}mv^2\\ \end{aligned}

Instruktorzy kursu

Grzegorz Mazur Grzegorz Mazur Autor
Łukasz Cichowicz Łukasz Cichowicz Autor

Dodaj komentarz

Please Login to comment
  Subscribe  
Powiadom o