Redukcja płaskiego dowolnego układu sił

Załóżmy, że w określonych punktach są zaczepione siły P_1, P_2, ... , P_n – jest to zbiór sił zwany układem sił (może być płaski lub przestrzenny) (rys1). Jeżeli obierzemy dowolny punkt zwany biegunem, np. punkt A, to określimy tzw. wektory promienie. Mają one początek w punkcie A, a koniec w punkcie zaczepienia siły. Takich wektorów jest tyle co sił. r_1, r_2, ... , r_n, gdzie r_1=\overline{AA_1} itd.
Określamy sumę geometryczną momentów wszystkich sił układu względem bieguna A, czyli:

\begin{aligned} &\overline{M_A}=\overline{M_A}(\overline{P_1})+\overline{M_A}(\overline{P_2})+ … +\overline{M_A}(\overline{P_n})=\sum_{i=1}^n{\overline{M_A}(\overline{P_i})} \hspace{2cm} (1)\\ \end{aligned}

To równanie możemy zapisać również w postaci

\begin{aligned} &\overline{M_A}=\overline{r_1}\times\overline{P_1}+\overline{r_2}\times\overline{P_2}+ … +\overline{r_n}\times\overline{P_n}=\sum_{i=1}^n{(\overline{r_i}\times\overline{P_i})} \hspace{2cm} (2) \end{aligned}

Równania te określają tzw. wektor momentu ogólnego układu sił względem bieguna A. Jest to więc suma geometryczna momentów wszystkich sił składowych określanych względem tego samego bieguna. Moment ogólny układu sił określony względem różnych biegunów daje różne wyniki.

Wektor sumy układu sił \overline{S} określony jest zależnością:

\begin{aligned} &\overline{S}=\overline{P_1}+\overline{P_2}+…+\overline{P_n}=\sum_{i=1}^n\overline{P_i} \hspace{2cm} (3) \end{aligned}

Jeżeli obierzemy nowy biegun, np. B, tak że położenie punktu A względem punktu B określa wektor promień \overline{r_A} (rys2), to moment ogólny względem tego bieguna określimy jako

\begin{aligned} &\overline{M_B}=\overline{r_1′}\times\overline{P_1}+\overline{r_2′}\times\overline{P_2}+ … +\overline{r_n’}\times\overline{P_n} \hspace{2cm} (4) \end{aligned}

Ponieważ z odpowiednich trójkątów wynika, że

\begin{aligned} &\begin{cases} &\overline{r_1′}=\overline{r_A}+\overline{r_1}\\ &\overline{r_2′}=\overline{r_A}+\overline{r_2}\\ &\vdots\\ &\overline{r_n’}=\overline{r_A}+\overline{r_n} \end{cases} \hspace{2cm} (5) \end{aligned}

Wprowadzając zależność (5) do równania (4) otrzymujemy:

\begin{aligned} &\overline{M_B}=\overline{r_1}\times\overline{P_1}+\overline{r_2}\times\overline{P_2}+ … +\overline{r_n}\times\overline{P_n} + \overline{r_A}\times(\overline{P_1}+\overline{P_2}+…+\overline{P_n}) \hspace{2cm} (6) \end{aligned}

Uwzględniając zależność (3) oraz (2) równanie (6) możemy zapisać w postaci

\begin{aligned} &\overline{M_B}=\overline{M_A}+\overline{r_A}\times\overline{S} \hspace{2cm} (7) \end{aligned}

Z tego równania wynika, że wektor momentu ogólnego układu sił, określony względem nowego bieguna B, jest równy sumie geometrycznej wektora momentu ogólnego określonego względem bieguna starego A oraz wektora momentu, jaki względem nowego bieguna daje wektor sumy zaczepiony w starym biegunie.
Tą zależność (7) nazywamy twierdzeniem o zmianie bieguna momentu.

Jeżeli \overline{S}=0, wówczas z równania (7) wynika, że \overline{M_B}=\overline{M_A} = const. Wtedy wektor momentu ogólnego układu sił jest tzw. wektorem swobodnym, czyli można go zaczepiać w dowolnym punkcie, zachowując jego kierunek, zwrot i wartość; mówimy wówczas, że wektor momentu ogólnego jest niezmiennikiem układu.

Rozważmy zbiór sił P_1,...,P_n w płaszczyźnie xy zaczepionych w punktach A_1,...,A_n (rys3). Na drodze tzw. redukcji układu sił można zastąpić działanie takiego układu – układem prostszym.

Przeprowadzając redukcję układu sił, przyjmujemy tzw. biegun redukcji, tj. dowolny punkt leżący w płaszczyźnie xy, np. punkt A i zastępujemy działanie układu sił następującymi wektorami:
– wektorem sumy \overline{S},
– wektorem momentu \overline{M_A}.

Wektor sumy \overline{S} układu sił
\overline{S}=\sum_{i=1}^n {\overline{P_i}} – przy redukcji wektor ten jest nazywany wektorem głównym, jest on niezmiennikiem układu (rys4)

Jego wartość wynosi S=\sqrt{(S_x)^2+(S_y)^2}, gdzie
S_x=\sum_{i=1}^n{P_ix}
S_y=\sum_{i=1}^n{P_iy}

Moment ogólny układu sił \overline{M_A} \begin{aligned} &\overline{M_A}=\sum_{i=1}^n{(\overline{r_i}\times\overline{P_i})} \hspace{2cm} (8) \end{aligned}

Wektor ten przy redukcji jest nazywany momentem głównym. Nie jest on niezmiennikiem układu, zaczepiamy go w biegunie redukcji, jego kierunek jest prostopadły do płaszczyzny, w której leżą siły, czyli do płaszczyzny xy

Wynik redukcji
W wyniku przeprowadzonej redukcji działanie płaskiego dowolnego układu sił zastąpiliśmy wektorem i momentem głównym. Ten układ dwóch wektorów pokazano na poniższym rysunku,.

Ten układ dwóch wektorów powoduje takie same skutki jak redukowany układ sił.

Przypadki redukcji

Ponieważ biegun redukcji można obierać dowolnie, mogą wystąpić przedstawione przypadki:
1) \overline{S}\ne 0, \overline{M_A}=0 – w tym przypadku działanie układu sił zastępuje jedna siła i jest ona siłą wypadkową \overline{S}= \overline{W} – wektor siły wypadkowej (rys7)

2) \overline{S}=0, \overline{M_A}\ne 0 – działanie układu sił zastępuje tzw. para wypadkowa, \overline{M_A} – wektor momentu pary wypadkowej (rys8)

3) \overline{S}\ne 0, \overline{M_A}\ne 0 – w tym przypadku możemy wektor główny i moment główny zastąpić jeszcze prostszym układem; wektor momentu zastępujemy parą sił leżącą w płaszczyźnie xy i tak tę parę przesuwamy, obracamy oraz dobieramy wartość siły pary, aby jedna siła pary z wektorem \overline{S} tworzyła dwójkę zerową \overline{S} + \overline{W'} =0 (parę sił leżących na jednej prostej o przeciwnych zwrotach i takich samych wartościach), prezentuje to poniższy rysunek

W=W'=S, wówczas ramię pary h=\frac{M_A}{S}
W tym przypadku działanie układu sił zastępuje jedna siła, którą jest siła wypadkowa układu sił przsunięta względem bieguna redukcji o odległość h.

4) \overline{S}= 0, \overline{M_A}= 0 – układ sił pozostaje w równowadze statycznej.