Ejemplo 1

Calcula las reacciones y en el marco como se muestra en la imagen.

Datos:

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Solución

El sistema es cinemáticamente indeterminado dos veces, por lo que asumo que el sistema es geométricamente determinado y que el plano de desplazamiento es el mostrado en la figura.

A partir de la geometría del sistema: 𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼 =35, 𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼 =45, 𝑡⁢𝑔⁡𝛼 =34

Desplazamientos de las barras de acuerdo con la figura:

Escribo la ecuación de equilibrio en el nodo C:

Φ1𝐶+Φ2𝐶=0

Y los principios de trabajo virtual:

−𝑊1𝐶⋅𝑢−𝑊2𝐶⋅35⁢𝑢−𝑊2𝐵⋅35⁢𝑢+𝑃⋅𝑢=0→𝑊1𝐶+35⁢𝑊2𝐶+35⁢𝑊2𝐵=𝑃

Como las barras 1 y 2 están en un suelo de Winkler, escribo 𝜆 para ellas:

𝜆=4√𝑘⁢𝑙4𝐸⁢𝐼=4√0,0064⋅𝐸⁢𝐼𝑙4⋅𝑙4𝐸⁢𝐼=0,2𝜆1=0,2⋅3=0,6𝜆2=0,2⋅5=1

Calculo los momentos flectores que aparecen en las ecuaciones de equilibrio:

Φ1𝐶=𝐸⁢𝐼3⁢𝑙⁢(𝛼⁡(𝜆1)⋅𝜑𝐶−𝜃⁡(𝜆1)⋅𝑢3⁢𝑙)==𝐸⁢𝐼3⁢𝑙⁢(4.005⋅𝜑𝐶−6.027⋅𝑢3⁢𝑙)=𝐸⁢𝐼𝑙⁢(1.335⋅𝜑𝐶−0.67⋅𝑢𝑙)Φ2𝐶=𝐸⁢𝐼5⁢𝑙⁢(𝛼′⁡(𝜆2)⋅𝜑𝐶+𝜃′⁡(𝜆2)⋅35⁢𝑢5⁢𝑙−𝛿′1⁡(𝜆2)⋅35⁢𝑢5⁢𝑙)==𝐸⁢𝐼5⁢𝑙⁢(3.075⋅𝜑𝐶+3.338⋅3⁢𝑢25⁢𝑙−2.846⋅3⁢𝑢25⁢𝑙)==𝐸⁢𝐼𝑙⁢(0.615⋅𝜑𝐶+0.08⋅𝑢𝑙−0.068⁢𝑢𝑙)=𝐸⁢𝐼𝑙⁢(0.615⋅𝜑𝐶+0.012⁢𝑢𝑙)

Sustituyendo:

𝐸⁢𝐼𝑙⁢(1.335⋅𝜑𝐶−0.67⋅𝑢𝑙)+𝐸⁢𝐼𝑙⁢(0.615⋅𝜑𝐶+0.012⁢𝑢𝑙)=01.95⋅𝜑𝐶−0.658⋅𝑢𝑙=0

Calculo las fuerzas axiales que aparecen en las ecuaciones de equilibrio:

𝑊1𝐶=−𝐸⁢𝐼(3⁢𝑙)2⁢(𝜃⁡(𝜆1)⋅𝜑𝐶−𝛾⁡(𝜆1)⋅𝑢3⁢𝑙)=−𝐸⁢𝐼9⁢𝑙2⁢(6.027⋅𝜑𝐶−12.192⋅𝑢3⁢𝑙)=−𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.67⋅𝜑𝐶−0.452⋅𝑢𝑙)𝑊2𝐶=𝐸⁢𝐼(5⁢𝑙)2⁢(𝜃′⁡(𝜆2)⋅𝜑𝐶+𝛾′⁡(𝜆2)⋅35⁢𝑢5⁢𝑙−𝜖′⁡(𝜆2)⋅35⁢𝑢5⁢𝑙)=𝐸⁢𝐼25⁢𝑙2⁢(3.338⋅𝜑𝐶+4.925⋅3⁢𝑢25⁢𝑙−2.454⋅3⁢𝑢25⁢𝑙)=𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.134⋅𝜑𝐶+0.012⋅𝑢𝑙)𝑊2𝐵=−𝐸⁢𝐼(5⁢𝑙)2⁢(𝜃′⁡(𝜆2)⋅𝜑𝐶+𝜖′⁡(𝜆2)⋅35⁢𝑢5⁢𝑙−𝜒′⁡(𝜆2)⋅35⁢𝑢5⁢𝑙)==−𝐸⁢𝐼25⁢𝑙2⁢(2.846⋅𝜑𝐶+2.454⋅3⁢𝑢25⁢𝑙−3.934⋅3⁢𝑢25⁢𝑙)=−𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.114⋅𝜑𝐶−0.007⋅𝑢𝑙)

Sustituyendo:

−𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.67⋅𝜑𝐶−0.452⋅𝑢𝑙)+35⋅𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.134⋅𝜑𝐶+0.012⋅𝑢𝑙)−35⋅𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.114⋅𝜑𝐶−0.007⋅𝑢𝑙)=𝑃−0.658⋅𝜑𝐶+0.463⋅𝑢𝑙=𝑃⁢𝑙2𝐸⁢𝐼

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

−0.658⋅𝜑𝐶+0.463⋅𝑢𝑙=𝑃⁢𝑙2𝐸⁢𝐼1.95⋅𝜑𝐶−0.658⋅𝑢𝑙=0

Al resolver, obtenemos:

𝜑𝐶=1.4⁢𝑃⁢𝑙2𝐸⁢𝐼𝑢𝑙=4.15⁢𝑃⁢𝑙2𝐸⁢𝐼

Sustituyendo en las fuerzas axiales:

𝑊1𝐶=−𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.67⋅𝜑𝐶−0.452⋅𝑢𝑙)=−𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.67⋅1.4⁢𝑃⁢𝑙2𝐸⁢𝐼−0.452⋅4.15⁢𝑃⁢𝑙2𝐸⁢𝐼)=0.9378⁢𝑃𝑊2𝐶=𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.134⋅𝜑𝐶+0.012⋅𝑢𝑙)=𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.134⋅1.4⁢𝑃⁢𝑙2𝐸⁢𝐼+0.012⋅4.15⁢𝑃⁢𝑙2𝐸⁢𝐼)=0.2374⁢𝑃𝑊2𝐵=−𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.114⋅𝜑𝐶−0.007⋅𝑢𝑙)=−𝐸⁢𝐼𝑙2⁢(0.114⋅1.4⁢𝑃⁢𝑙2𝐸⁢𝐼−0.007⋅4.15⁢𝑃⁢𝑙2𝐸⁢𝐼)=−0.13055⁢𝑃

A partir del equilibrio en los nodos individuales:

𝑊2𝐵+𝑉𝐵⋅𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼=0𝑉𝐵=−𝑊2𝐵𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼=−𝑊2𝐵45=−54⁢𝑊2𝐵

Sustituyendo:

𝑉𝐵=−54⋅(−0.13055⁢𝑃)=0.163⁢𝑃

De manera análoga para los nodos A y C:

𝑉𝐴+𝑁1=0→𝑉𝐴=−𝑁1 −𝑁1⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼+𝑊1𝐶⁢𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼−𝑃⁢𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼+𝑊2𝐶=0𝑁1=𝑊⁢𝐶⁢2⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼+𝑊⁢𝐶⁢1−𝑃⁢𝑠⁢𝑖⁢𝑛⁢𝛼⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼=𝑊⁢𝐶⁢2⁢𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼+𝑊⁢𝐶⁢1−𝑃⁢𝑡⁢𝑔⁡𝛼𝑉𝐴=−𝑊2𝐶𝑐⁢𝑜⁢𝑠⁢𝛼+(𝑃−𝑊1𝐶)⁢𝑡⁢𝑔⁡𝛼

Sustituyendo:

𝑉𝐴=−0.2374⁢𝑃45+(𝑃−0.9378⁢𝑃)⋅34=−0.25⁢𝑃

Fuente del ejercicio:

Examen de Mecánica de Construcciones (MK IPB), 24.06.2017, estudios a tiempo parcial (Politécnica de Varsovia, Facultad de Ingeniería Civil).