Solución
Marcando las reacciones de apoyo y las fuerzas en las barras de la cuadrícula
Escribiendo una ecuación de equilibrio estática: una en la que las incógnitas serán las fuerzas en las barras \( N_1, N_2 \) \begin{aligned} &\sum{M_{A}}=0\\ &N_{1}\cdot 2 - N_{2}\cdot \sin\alpha\cdot 6 + 8\cdot 4\cdot 4=0\\ &N_{1}=3N_{2}\cdot\sin\alpha - 64\\ &\sin\alpha=\frac{3}{5} & \cos\alpha=\frac{4}{5}\\ &N_{1}=1.8N_{2}-64\\ \end{aligned} Dibujando el diagrama de desplazamientos para expresar la condición geométrica (la relación entre los desplazamientos por similitud de triángulos)
Las barras pueden alargarse en sus ejes, mientras que la línea permitida de desplazamiento del extremo alargado/acortado de la barra está en la dirección perpendicular al eje de la barra.
Además, recuerdo que cada punto de la viga horizontal inextensible puede encontrarse en la dirección perpendicular a este eje.
Condición geométrica \begin{aligned} &\frac{f_{B}}{2}=\frac{f_{A}}{6}\\ &\frac{\Delta l_{2}}{f_{A}}=\sin\alpha \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f_{A}=\frac{\Delta l_{2}}{\sin\alpha}\\ &f_{B}=\Delta l_{1}\\ &\frac{\Delta l_{1}}{2}=\frac{\frac{\Delta l_{2}}{\sin\alpha}}{6}\\ &6\sin\alpha\cdot\Delta l_{1}=2\cdot\Delta l_{2}\\ &6\cdot 0.6\cdot\frac{-N_{1}\cdot 3}{E_{1}\cdot A_{1}}=2\cdot\frac{N_{2}\cdot 5}{E_{2}\cdot A_{2}}\\ &\frac{-10.8N_{1}}{2E_{2}\cdot A_{2}}=\frac{10N_{2}}{E_{2}\cdot A_{2}} \ \ \ \ \ \ \ \ |\cdot E_{2}A_{2}\\ &-5.4N_{1}=10N_{2}\\ &N_{1}=-1.85N_{2} \end{aligned} Obtenemos la segunda relación entre \(N_1 \) y \(N_2 \), volvemos a la primera relación y calculamos las fuerzas en las barras
\begin{aligned} &N_{1}=1.85N_{2}-64\\ &-1.85N_{2}=1.8N_{2}-64\\ \\ &N_{2}=17.53 \ kN\\ &N_{1}=-32.43 \ kN\\ \end{aligned} Condición de resistencia \begin{aligned} &\sigma=\frac{|N|}{A}\le k\\ \end{aligned} \begin{array}{ll} \sigma_{1}=\frac{32.43 \cdot 10^{3}}{A} \leq 90 \cdot 10^{6} & \Rightarrow A \geq 3.6 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \\ \sigma_{2}=\frac{17.53 \cdot 10^{3}}{A} \leq 60 \cdot 10^{6} & \Rightarrow A \geq 2.92 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \\ \end{array} Se cumple la primera condición, tomamos: \begin{array}{ll}A=3.65 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} & \Rightarrow d=0.0215 \mathrm{~m}=2.15 \mathrm{~cm} \\ A=\frac{\pi d^{2}}{4} \end{array}
Escribiendo una ecuación de equilibrio estática: una en la que las incógnitas serán las fuerzas en las barras \( N_1, N_2 \) \begin{aligned} &\sum{M_{A}}=0\\ &N_{1}\cdot 2 - N_{2}\cdot \sin\alpha\cdot 6 + 8\cdot 4\cdot 4=0\\ &N_{1}=3N_{2}\cdot\sin\alpha - 64\\ &\sin\alpha=\frac{3}{5} & \cos\alpha=\frac{4}{5}\\ &N_{1}=1.8N_{2}-64\\ \end{aligned} Dibujando el diagrama de desplazamientos para expresar la condición geométrica (la relación entre los desplazamientos por similitud de triángulos)
Las barras pueden alargarse en sus ejes, mientras que la línea permitida de desplazamiento del extremo alargado/acortado de la barra está en la dirección perpendicular al eje de la barra.
Además, recuerdo que cada punto de la viga horizontal inextensible puede encontrarse en la dirección perpendicular a este eje.
Condición geométrica \begin{aligned} &\frac{f_{B}}{2}=\frac{f_{A}}{6}\\ &\frac{\Delta l_{2}}{f_{A}}=\sin\alpha \ \ \ \Rightarrow \ \ \ f_{A}=\frac{\Delta l_{2}}{\sin\alpha}\\ &f_{B}=\Delta l_{1}\\ &\frac{\Delta l_{1}}{2}=\frac{\frac{\Delta l_{2}}{\sin\alpha}}{6}\\ &6\sin\alpha\cdot\Delta l_{1}=2\cdot\Delta l_{2}\\ &6\cdot 0.6\cdot\frac{-N_{1}\cdot 3}{E_{1}\cdot A_{1}}=2\cdot\frac{N_{2}\cdot 5}{E_{2}\cdot A_{2}}\\ &\frac{-10.8N_{1}}{2E_{2}\cdot A_{2}}=\frac{10N_{2}}{E_{2}\cdot A_{2}} \ \ \ \ \ \ \ \ |\cdot E_{2}A_{2}\\ &-5.4N_{1}=10N_{2}\\ &N_{1}=-1.85N_{2} \end{aligned} Obtenemos la segunda relación entre \(N_1 \) y \(N_2 \), volvemos a la primera relación y calculamos las fuerzas en las barras
\begin{aligned} &N_{1}=1.85N_{2}-64\\ &-1.85N_{2}=1.8N_{2}-64\\ \\ &N_{2}=17.53 \ kN\\ &N_{1}=-32.43 \ kN\\ \end{aligned} Condición de resistencia \begin{aligned} &\sigma=\frac{|N|}{A}\le k\\ \end{aligned} \begin{array}{ll} \sigma_{1}=\frac{32.43 \cdot 10^{3}}{A} \leq 90 \cdot 10^{6} & \Rightarrow A \geq 3.6 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \\ \sigma_{2}=\frac{17.53 \cdot 10^{3}}{A} \leq 60 \cdot 10^{6} & \Rightarrow A \geq 2.92 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \\ \end{array} Se cumple la primera condición, tomamos: \begin{array}{ll}A=3.65 \cdot 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} & \Rightarrow d=0.0215 \mathrm{~m}=2.15 \mathrm{~cm} \\ A=\frac{\pi d^{2}}{4} \end{array}
Si tienes preguntas, comentarios, o crees que has encontrado un error en esta solución, por favor envíanos un mensaje a kontakt@edupanda.pl.