Descripción del movimiento en el sistema cartesiano

Movimiento de un punto en coordenadas rectangulares

Un punto en el espacio tiene tres grados de libertad, por lo tanto, su posición se puede determinar proporcionando tres ecuaciones de movimiento. En coordenadas rectangulares, estas serán las ecuaciones:

\(x=f(t), y=f(t), z=f(t)\)

a) Componentes de la velocidad

De donde las componentes de la velocidad:

\(v_x=\frac{dx}{dt}=\dot{x} \\ v_y=\frac{dy}{dt}=\dot{y} \\ v_z=\frac{dz}{dt}=\dot{z}\\\)

La velocidad total del punto (siempre tangente a la trayectoria):

\(v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}\)

b) Componentes de la aceleración

Componentes de la aceleración del punto:

\(a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=\ddot{x} \\ a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}=\ddot{y} \\ a_z=\frac{dv_z}{dt}=\frac{d^2z}{dt^2}=\ddot{z} \)

La aceleración total:

\(a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\)

Descripción del movimiento a través de la ecuación de la trayectoria

El movimiento de un punto también se puede describir proporcionando:

• la ecuación de la trayectoria: \(f(x,y,z)=0\)
• la ecuación de movimiento a lo largo de la trayectoria: \(s=f(t)\)

a) Velocidad del punto

La velocidad del punto es entonces:

\(v=\frac{ds}{dt}=\dot{s}\)

b) Componentes de la aceleración

Componente tangencial de la aceleración:

\(a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}=\ddot{s}\)

Componente normal:

\(a_n=\frac{v^2}{\rho}\)

donde \(\rho\) es el radio de curvatura de la trayectoria.

La aceleración total del punto está determinada por la fórmula:

\(a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}\)