Método Cremony

De este texto aprenderás más sobre el método gráfico de Cremona para calcular fuerzas en los miembros de una estructura de celosía y encontrarás ejemplos de solución de celosías utilizando este método.

El método gráfico de Cremona (diagrama de fuerzas de Cremona) es una técnica utilizada para analizar las fuerzas internas en los miembros de las celosías, especialmente útil para resolver celosías estáticamente determinables.

Condición necesaria para la estática determinable

Antes de profundizar en los detalles de este método, aclaremos cómo verificar la condición necesaria para la estática determinable de la celosía.

Para las fuerzas que convergen en un solo nodo, podemos escribir dos ecuaciones de equilibrio: ( \( \sum x=0 , \sum y=0 \) ). Denotando el número de nodos por w, el número total de ecuaciones de equilibrio para toda la celosía es 2w.

Tres de estas ecuaciones se utilizan para determinar las reacciones en los puntos de apoyo, lo que significa que para calcular las fuerzas en los miembros quedan 2w−3 ecuaciones.

Para que las ecuaciones de estática sean suficientes para resolver la celosía, es decir, para que la celosía sea estáticamente determinable, el número de fuerzas internas que queremos determinar debe ser igual a 2w−3. Dado que el número de fuerzas internas es igual a el número de miembros en la celosía, denotando el número de miembros por p, obtenemos la relación presentada en letras mayúsculas arriba.

En qué se basa el método de Cremona

La solución de la celosía consiste en determinar las reacciones de apoyo en los puntos de apoyo y las fuerzas internas, que pueden actuar en los miembros en forma de compresión o tensión.

Cada nodo de la celosía puede considerarse como un punto donde convergen un número determinado de fuerzas externas e internas (fuerzas activas - aplicadas externamente, reacciones de apoyo, fuerzas en los miembros).

En el caso de un sistema plano, tenemos dos tipos de condiciones de equilibrio:

• Analítico – la suma de las proyecciones de todas las fuerzas en los ejes x e y debe ser igual a cero.
• Gráfico – el polígono de fuerzas que aparece en el sistema debe cerrarse.

El método de Cremona se basa en la condición gráfica.

Principales supuestos y pasos del método de Cremona

Para facilitar la comprensión de los siguientes pasos, tomemos un ejemplo, consideremos esta celosía:

Por supuesto, verificamos la condición necesaria para la estática determinable. ¿Es p=2w-3?

p = 9 – número de miembros,

w = 6 – número de nodos,

por lo tanto:

9 = 2 * 6 - 3

9 = 9 -> condición cumplida.

Además, la celosía también debe ser geométricamente invariable, pero no profundizaremos en este tema ahora.

1. Dibujo de la estructura y marcado de fuerzas externas

Comenzamos dibujando la celosía, marcando las fuerzas externas (cargas y reacciones de apoyo). Cada miembro de la celosía debe estar marcado con símbolos para facilitar su referencia durante el análisis.

2. Cálculo de las reacciones de apoyo

A partir de las condiciones de estática:

\( \sum x = 0,\quad \sum y = 0,\quad \sum M = 0 \)

Con base en estas ecuaciones, calculamos las reacciones de apoyo.

Para el ejemplo considerado:

Reacciones: \begin{aligned} &\sum{M_A}=0 &-20\cdot 4+H_B\cdot 4-0 && H_B=20 \ kN\\ &\sum{X}=0 & M_A+H_B-15=0 && H_A=-5 \ kN\\ &\sum{Y}=0 & V_A-10+20=0 && V_A=-10 \ kN\\ \end{aligned}

3. Descripción de los campos externos e internos de la celosía

Describimos (por ejemplo, A, B, C, etc.) los campos externos de la celosía, que separan las fuerzas pasivas (reacciones) y las fuerzas activas – aplicadas desde el exterior, así como los campos internos de la celosía. No importa dónde coloquemos el campo "A".

4. Creación del polígono externo de fuerzas

Creamos un polígono de fuerzas compuesto por fuerzas externas. Verificamos si el polígono de fuerzas se cierra. Pasamos del campo A al campo B, C, etc.

Al ir del campo A al campo B, marcamos el vector entre estos campos, es decir, 10 kN en la escala elegida. El inicio de este vector lo describimos como punto A, y el final como punto B.
Luego, entre el campo B y C tenemos un vector de 20 kN. El inicio del vector en el punto B, y la dirección hacia el punto C.
Marcamos un vector de 15 kN desde el punto C al punto D.
Vector de 20 kN desde el punto D al E.
Vector de 10 kN hacia abajo, desde el punto E al F.
Vector de 5 kN hacia la izquierda, que cierra el polígono de fuerzas – desde el punto F regresamos al punto A. ¡ÉXITO!

5. Creación de polígonos internos de fuerzas para los nodos siguientes

Para los nodos siguientes, creamos lo que se llama polígono de fuerzas (diagrama vectorial). Comenzamos desde el nodo donde se conocen las fuerzas externas o las reacciones de apoyo, y las fuerzas desconocidas son solo en dos miembros que llegan a este nodo.

Dibujamos las fuerzas a escala, en las direcciones adecuadas. Se forma un polígono, cuyos segmentos corresponden a las fuerzas que actúan en los miembros de la celosía. Continuamos construyendo el diagrama de fuerzas para los nodos siguientes, hasta que todas las fuerzas en la celosía sean determinadas.

Las fuerzas en los miembros son proporcionales a la longitud de los segmentos en el diagrama de fuerzas de Cremona. A partir de este diagrama, puedes determinar qué miembros están en compresión y cuáles en tensión. Esto se decide por la dirección en la que tuvimos que movernos para pasar de un campo a otro; si la dirección es "hacia el nodo", el miembro está en compresión, si es "desde el nodo", el miembro está en tensión.

6. Dibujo del diagrama de fuerzas axiales (normales)

Es mejor, después de crear el polígono para cada nodo, dibujar inmediatamente el diagrama de fuerzas axiales en la celosía.

Es difícil de entender sin un ejemplo, así que en el ejemplo se ve así:

La base para construir el equilibrio de los nodos siguientes es el polígono externo de fuerzas que ya hemos dibujado. Solo hay dos nodos desde los cuales podemos comenzar el análisis de la celosía, es decir, solo en dos nodos hay no más de dos fuerzas desconocidas en los miembros. Estos son el nodo en la parte inferior a la izquierda y a la derecha, en el primer dibujo marcados como A y F.

Comencemos desde el nodo en la parte inferior a la izquierda

Pasamos por los campos sucesivos construyendo el polígono de fuerzas, moviéndonos en el sentido de las agujas del reloj entre los campos.

1. Entre el campo A y G tenemos un miembro, cuya dirección es vertical, por lo que podemos marcar una línea discontinua/gris claro desde el punto A en dirección vertical y en algún lugar en esta línea debe estar el punto G.
2. Entre el campo G y E tenemos una dirección horizontal, por lo que desde el punto E, que sabemos dónde está, marcamos la dirección horizontal y así encontramos el punto G.
3. Dibujamos vectores de A a G, de G a E, las longitudes de estos vectores son en la escala adoptada los valores de las fuerzas en los miembros, y la dirección en la que nos movimos al rodear este nodo nos muestra si el miembro está en tensión o compresión.
4. Marcamos las fuerzas calculadas (encontradas gráficamente correctamente) en el diagrama.

Ambos miembros están en tensión.

El siguiente será el nodo en la parte superior izquierda

Ya conocemos la fuerza en el miembro vertical, las fuerzas en el miembro diagonal y horizontal son desconocidas, por lo que podemos analizar este nodo.

1. Desde el campo B a H marcamos la dirección horizontal, sabemos dónde está el punto B, buscamos el punto H.
2. Desde el campo H a G marcamos la dirección en el ángulo en el que está el miembro diagonal entre estos campos, desde el paso anterior sabemos dónde está el punto G, por lo que pasa por este punto y así encontramos el punto H.
3. Dibujamos vectores de B a H y de H a G, las longitudes de estos vectores son en la escala adoptada los valores de las fuerzas en los miembros, y la dirección en la que nos movimos al rodear este nodo nos muestra si el miembro está en tensión o compresión.
4. Marcamos las fuerzas calculadas (encontradas gráficamente correctamente) en el diagrama.

Y así continuamos a través de los nodos sucesivos hasta que determinemos las fuerzas en todos los miembros.

Así debería verse el diagrama completo:

Diagrama de fuerzas normales [kN]



En resumen, el método de Cremona es una herramienta gráfica utilizada principalmente en el análisis de fuerzas en celosías estáticamente determinables. Consiste en crear diagramas de fuerzas para cada nodo, lo que permite determinar las fuerzas que actúan en los miembros.