Método de Maxwell

Introducción a los métodos energéticos

El curso „Métodos energéticos - Desplazamientos en sistemas estáticamente determinables" se centra en los métodos energéticos que utilizan los principios de conservación de la energía en sistemas elásticos para predecir el comportamiento de los materiales bajo carga.

Método de Maxwell-Mohr - enfoque simplificado

(considerando solo el efecto del momento flector)

El método de Maxwell-Mohr es otra técnica energética importante utilizada para el análisis de desplazamientos en estructuras. Es un método más general, que incluye tanto cargas mecánicas como térmicas, geométricas y apoyos elásticos. La fórmula de Maxwell-Mohr considera el efecto de todas las interacciones posibles en la estructura. En este método, los desplazamientos debidos a las cargas mecánicas se calculan mediante la integración de los productos de las funciones de los momentos flectores, fuerzas cortantes y fuerzas normales para los estados iniciales y unitarios.

En este curso básico nos ocuparemos solo del efecto de los momentos en el desplazamiento debido a las cargas mecánicas. Además, queremos mostrar aquí un enfoque básico, en el que realizaremos la integración analítica de las funciones de los momentos.

Fórmula básica del método

De acuerdo con el método de Maxwell-Mohr, la determinación del desplazamiento u se reduce al cálculo de la integral, bajo la cual aparece el momento flector causado por la carga externa real (Mg), así como el momento flector que provocaría una fuerza ficticia unitaria P=1 odpowiadajque corresponde al desplazamiento buscado (\(M_1\)).

\[ u=\int_{0}^{l} \frac{M_{g} \cdot M_{1}}{E I} dx \]

La integración se puede realizar de forma analítica o gráfica. En el siguiente ejemplo mostraremos ambos enfoques.

Ver integración gráfica - método de Wereszczagin

De este curso aprenderás:

Método de Maxwell-Mohr (integración analítica de las funciones de los momentos):

cómo determinar las funciones de los momentos flectores en intervalos,
cómo establecer el estado unitario y determinar las funciones de los momentos,
cómo integrar analíticamente los productos de las funciones de los momentos en intervalos,
cómo calcular el hundimiento y el ángulo de rotación de la viga en cualquier punto.

Método de Wereszczagin:

cómo determinar los gráficos de los momentos en el estado inicial y unitario,
cómo integrar gráficamente los gráficos de los momentos,
cómo calcular el hundimiento y el ángulo de rotación de la viga en cualquier punto.

Ejemplo 1

Contenido

Calcula el desplazamiento vertical del punto D.

Considera el efecto de los momentos flectores.

Przykład 1 - metoda Maxwella-Mohra — *Fig. 1. Esquema de la viga - ejemplo 1*

Solución

Descomponemos la viga articulada en vigas rectas, calculamos las reacciones internas y dibujamos los gráficos de las fuerzas internas. Nota: las reacciones se pueden calcular sin descomponer en vigas rectas. La verificación de extremos no es necesaria para calcular el desplazamiento.

Rozbicie belki — *Fig. 2. Descomposición de la viga articulada en vigas rectas*

Reacciones de apoyo

I

\[ \begin{aligned} & \Sigma M_{B}=0 \\ & 10+2 V_{C}=0 \\ & V_{C}=-5 \text{ kN} \\ & \Sigma Y=0\\ & V_{B}+V_{C}=0 \\ & V_{B}=5 \text{ kN} \end{aligned} \]

II

\[ \begin{aligned} & \Sigma M_{A}=0 \\ & -M_{A}-6 \cdot 4 \cdot 2-4 V_{B}=0 \\ & M_{A}=-68 \text{ kNm} \\ & \Sigma Y=0 \\ & V_{A}-6 \cdot 4-V_{B}=0 \\ & V_{A}=29 \text{ kN} \end{aligned} \]

Funciones de los momentos flectores - estado inicial

\[ \begin{aligned} & \text{AB} \quad 0 < x < 4 \\ & M_1(x) = -68 + 29 \cdot x - 6 \cdot \frac{x^2}{2} \\ & \quad M_1(0) = -68 \text{ kNm} \\ & \quad M_1(4) = 0 \text{ kNm} \\ \\ & \text{BC} \quad 4 < x < 6 \\ & M_2(x) = -68 + 29 \cdot x - 6 \cdot 4 \cdot (x - 2) \\ & \quad M_2(4) = 0 \text{ kNm} \\ & \quad M_2(6) = 10 \text{ kNm} \\ \\ & \text{DC} \quad 0 < x < 2 \\ & M_3(x) = 10 \\ & \quad M_3(0) = 10 \text{ kNm} \\ & \quad M_3(2) = 10 \text{ kNm} \end{aligned} \]

Stan jednostkowy

W celu obliczenia pionowego przemieszczenia w punkcie D przykładamy pionową siłę jednostkową i rysujemy wykres momentów.

Reakcje podporowe - stan jednostkowy

I

\[ \begin{aligned} & \Sigma M_{B}=0 \\ & -1 \cdot 4+2 V_{C}=0 \\ & V_{C}=2\\ & \Sigma Y=0 \\ & V_{B}+V_{C}-1=0 \\ & V_{B}=-1 \end{aligned} \]

II

\[ \begin{aligned} & \Sigma M_{A}=0 \\ & -M_{A}-4 V_{B}=0 \\ & M_{A}=4 \text{ m} \\ & \Sigma Y=0 \\ & V_{A}-V_{B}=0 \\ & V_{A}=-1 \end{aligned} \]

Funciones de los momentos flectores - estado unitario

\[ \begin{aligned} & \textbf{AB:} \quad 0 < x < 4 \\ & m_1(x) = 4 - x \\ & m_1(0) = 4 \text{ m}, \quad m_1(4) = 0 \text{ m} \\[0.5em] & \textbf{BC:} \quad 4 < x < 6 \\ & m_2(x) = 4 - x \\ & m_2(4) = 0 \text{ m}, \quad m_2(6) = -2 \text{ m} \\[0.5em] & \textbf{DC:} \quad 0 < x < 2 \\ & m_3(x) = -x \\ & m_3(0) = 0 \text{ m}, \quad m_3(2) = -2 \text{ m} \end{aligned} \]

Obliczenie przemieszczenia - całkowanie analityczne

Wzór ogólny:

\[ \Delta_{D}=\int_0^4 \frac{M_1(x) \cdot m_1(x)}{EI} dx+\int_4^6 \frac{M_2(x) \cdot m_2(x)}{EI} dx+\int_0^2 \frac{M_3(x) \cdot m_3(x)}{EI} dx \]

Podstawienie funkcji:

\[ \begin{aligned} \Delta_{D}= & \frac{1}{EI} \cdot\left[\int_0^4\left(-68+29 \cdot x-3 \cdot x^2\right) \cdot(4-x) dx+ \right.\\ & \left. +\int_4^6[-68+29 \cdot x-24 \cdot(x-2)] \cdot(4-x) dx + \int_0^2 10 \cdot(-x) dx\right] \end{aligned} \]

Simplificación de las expresiones bajo las integrales:

\[ \begin{aligned} \Delta_{D}=\frac{1}{EI} \cdot & \left[\int_0^4\left(3 \cdot x^3-41 \cdot x^2+184 \cdot x-272\right) dx+ \right.\\ & \left. +\int_4^6\left(40 \cdot x-5 \cdot x^2-80\right) dx+\int_0^2-10x dx\right] \end{aligned} \]

Solución de la integración paso a paso:

\[ \begin{aligned} & \int_0^4\left(3x^3-41x^2+184x-272\right) dx+\int_4^6\left(40x-5x^2-80\right) dx+\int_0^2-10x dx= \\ & {\left[\frac{3x^4}{4}-\frac{41x^3}{3}+92x^2-272x\right]_0^4+\left[20x^2-\frac{5x^3}{3}-80x\right]_4^6+\left[-5x^2\right]_0^2=} \\ & \left(\frac{3 \cdot 256}{4}-\frac{41 \cdot 64}{3}+92 \cdot 16-272 \cdot 4\right)+\\ & +\left(\left(20 \cdot 36-\frac{5 \cdot 216}{3}-80 \cdot 6\right)-\left(20 \cdot 16-\frac{5 \cdot 64}{3}-80 \cdot 4\right)\right)+(-5 \cdot 4)= \\ & \left(192-\frac{2624}{3}+1472-1088\right)+\left((720-360-480)-\left(320-\frac{320}{3}-320\right)\right)-20= \\ & \left(\frac{576}{1}-\frac{2624}{3}\right)+\left(-120+\frac{320}{3}\right)-20= \\ & -\frac{896}{3}-\frac{40}{3}-20=-\frac{936}{3}-20=-312-20=-332 \end{aligned} \] \[ \Delta_{D}=\frac{-332}{EI} \]

Que el desplazamiento resultó negativo significa que ocurrirá en la dirección opuesta a la que asumimos para la fuerza unitaria.

Cálculo del desplazamiento - integración gráfica

Se verá claramente en este ejemplo la ventaja de la integración gráfica sobre la analítica al calcular desplazamientos.

\[ \Delta_{D}=\sum \int \frac{M_{P} M_{1}}{EI} dx \]

Całkowanie graficzne — *Fig. 4. Gráficos de los momentos - estado inicial y unitario*

Distribución de la parábola en figuras simples:

Rozkład paraboli — *Fig. 5. Distribución de la parábola en figuras simples*

Si ambos gráficos están del mismo lado de la barra, el resultado de la integración de esa sección es positivo; si están en lados opuestos de la barra, el resultado es negativo. Se puede convenir que en la parte inferior tenemos un momento positivo, y en la parte superior negativo.

\[ \begin{aligned} \Delta_{D} &=\sum \int \frac{M_{P} M_{1}}{EI} dx\\ &= \frac{1}{EI}\left[-\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 68 \cdot 4+\frac{1}{3} \cdot 4 \cdot 4 \cdot \frac{6 \cdot 4^{2}}{8}-\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10-\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 10\right]\\ &=-332 \frac{1}{EI} \end{aligned} \]

Más información sobre la integración gráfica se puede encontrar aquí - método de Wereszczagin

Resistencia de materiales

Método de Maxwell – Mohr

Introducción a los métodos energéticos