Resistencia de materiales
Teorema de Castigliano
- Introducción al teorema de Castigliano
- Definición y aplicación
- Método energético
- Proceso de cálculo
- Energía elástica en una barra doblada
- Fórmula básica
- Caso de cambio abrupto de sección
- Fórmula después de la diferenciación
- Principios de diferenciación
- Determinación de la deflexión
- Determinación del ángulo de rotación
- Fuerzas ficticias P* y M*
- Importancia de los desplazamientos en las estructuras
- Evaluación de deformaciones
- Seguridad de la estructura
- Requisitos de uso
- Ejemplo de cálculo
- Cálculo de la deflexión en el punto B
- Reacciones de apoyo
- Funciones de momento
- Cálculo del ángulo de rotación
Introducción al teorema de Castigliano
El teorema de Castigliano es uno de los métodos energéticos fundamentales utilizados para calcular los desplazamientos en sistemas elásticos. Este método consiste en diferenciar la energía elástica total del sistema respecto a la fuerza para la cual se busca el desplazamiento. Este teorema es especialmente útil en el análisis de estructuras estáticamente determinables, donde permite calcular tanto los desplazamientos verticales como los ángulos de rotación. El cálculo requiere establecer la función del momento flector para los elementos de la estructura, y luego diferenciar esta función respecto a la fuerza o momento correspondiente.
De este curso aprenderás:
- qué es el teorema de Castigliano desde el punto de vista teórico,
- cuál es el algoritmo para calcular desplazamientos,
- cómo considerar los casos cuando la fuerza generalizada está en el lugar y en la dirección del desplazamiento buscado, y cómo cuando no hay fuerza,
- cómo calcular la deflexión y el ángulo de rotación en cualquier punto de la viga.
Energía elástica en un viga doblada
El valor de la energía elástica acumulada en una viga doblada (influencia del propio momento flector):
\[ U^M=\int_{0}^{l}{\frac{M_g^2}{2EI}}dx \]En el caso de un cambio abrupto en la sección de la viga o en un sistema compuesto por varias vigas, la energía elástica se determina como la suma de la energía acumulada a lo largo de la longitud \(l_i\) de la viga:
\[ U^M=\sum \int_{0}^{l_i}{\frac{M_g^2}{2EI}}dx \]Y al diferenciar obtendremos:
\[ \delta_i=\sum \frac{1}{EI} \int_{0}^{l_i} (M_g \cdot \frac{\partial M_g}{\partial P_i}) dx \]Reglas de diferenciación
La fórmula anterior tiene un carácter general.
Determinación de la deflexión
En el caso de determinar la deflexión, diferenciamos el momento flector respecto a la fuerza que actúa en el lugar y en la dirección del desplazamiento buscado.
Determinación del ángulo de rotación
Cuando determinamos el ángulo de rotación, diferenciamos el momento flector respecto al momento aplicado como se describió anteriormente.
Además, si en el punto de la sección donde buscamos el desplazamiento no hay fuerza correspondiente a ese desplazamiento, se debe aplicar adicionalmente una fuerza ficticia P* o M*. En tal caso, después de realizar las operaciones matemáticas definidas por la fórmula anterior, se sustituye P*=0 o M*=0.
Importancia de los desplazamientos en las estructuras
Los desplazamientos en las estructuras son un aspecto clave de la resistencia de los materiales, ya que permiten evaluar cómo se deformará la estructura bajo la influencia de diversas cargas. Comprender y ser capaz de calcular estos desplazamientos es esencial para los ingenieros para garantizar que las estructuras sean seguras, duraderas y cumplan con los requisitos de uso
.Ejemplo 1
Calcula la deflexión y el ángulo de rotación en el punto de aplicación de la fuerza concentrada. La carga en la viga está en [kN].
Solución:
Primero calcularemos la deflexión en el punto B.
En el caso de determinar la deflexión, diferenciamos la función del momento flector respecto a la fuerza que actúa en el lugar y en la dirección del desplazamiento buscado.
Para poder diferenciar respecto a la fuerza, debemos darle alguna designación, asumamos P=30 [kN].
Calculamos las reacciones de soporte:
\[ \begin{aligned} & \sum{Y}=0\\ & R_{CY}=P^*\\ & \sum{M_C}=0\\ & M_{A}-P^*\cdot 2=0\\ & M_{A}=2P^* \end{aligned} \]Funciones del momento
Intervalo A-B => x∈⟨0;2)m e intervalo B-C => x∈⟨3;5)m
\[ \begin{aligned} &M_{g1}^{AB}=M_A=2P^*\\ &M_{g2}^{BC}=2P^*-P^*\cdot (x-3) \end{aligned} \]Solución segunda parte - cálculo del ángulo de rotación
Observamos que NO HAY en el punto B una fuerza correspondiente al desplazamiento buscado (el ángulo de rotación buscado corresponde a un momento concentrado).
Si en el problema no se aplica un momento concentrado donde debemos calcular el ángulo de rotación, se debe añadir un momento ficticio \(M^*=0\), calcular las reacciones teniendo en cuenta este momento, realizar la diferenciación respecto a \(M^*\), y en la última etapa sustituir \(M^*=0\).