1. Détermination du degré de non-déterminabilité cinématique :

\begin{aligned} &SKN=\sum \varphi +\sum \Delta\\ &SKN=1+1=2\\ \end{aligned}

2. Sélection du système de base de la méthode des déplacements (UPMP) :

Système d'équations canoniques de la méthode des déplacements:
\( r_{11}\cdot\varphi_{1} +r_{12}\cdot\Delta_{2}+r_{1p}=0\\ r_{21}\cdot\varphi_{1} +r_{22}\cdot\Delta_{2}+r_{2p}=0\\ \)

3. Graphiques et détermination des coefficients et termes indépendants des équations :

Détermination des coefficients UPMP

\begin{aligned} &r_{11}=\frac{3EI}{5}+\frac{3EI}{4}=\frac{27EI}{20}\\ \\ \\ &r_{21}=-\frac{3EI}{16}\\ \end{aligned}

Détermination des coefficients UPMP

\begin{aligned} &r_{12}=-\frac{3EI}{16}\\ \\ \\ &r_{22}=\frac{3EI}{32}\\ \end{aligned}

Détermination des coefficients UPMP

\begin{aligned} &r_{1p}=-25\\ \\ \\ \\ &r_{2p}=-3,75\\ \end{aligned}

4. Résolution du système d'équations canoniques :

\begin{aligned} &\frac{27EI}{20}\cdot\varphi_{1} -\frac{3EI}{16}\cdot\Delta_{2}=25\\ &-\frac{3EI}{16}\cdot\varphi_{1} +\frac{3EI}{32}\cdot\Delta_{2}=3,75\\ \\ &\varphi_{1} =33,33/EI\\ &\Delta_{2}=106,67/EI\\ \end{aligned}

5. Graphiques finaux des forces de section dans la poutre :

Graphique des moments [kNm]
\( M_{ost}=M_{p}+M_{1} \cdot \varphi_{1}+M_{2} \cdot \Delta_{2}\\ \)

\begin{aligned} & \mathrm{M}_{\mathrm{A}}=0 \cdot \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{BA}}=\frac{-3 \mathrm{EI}}{4} \cdot \varphi_1+\frac{3 \mathrm{EI}}{16} \cdot \Delta_2=-5 \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{BC}}=\frac{3 \mathrm{EI}}{5} \varphi_1-25=-5 \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{CB}}=0 \cdot \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{CD}}=10 \cdot \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{D}}=\frac{3 \mathrm{EI}}{16} \cdot \Delta_2-5=15 \mathrm{kNm} \end{aligned}

Calculs pour le graphique des forces tranchantes

Element BC:

\begin{aligned} &\sum{M_{C}}=0\\ &{Q_{BC}}\cdot 5-5-8\cdot 5\cdot 2,5=0\\ &{Q_{BC}}=21 \ kN\\ &\sum{Y}=0\\ &-{Q_{CB}}+21-40=0\\ &{Q_{CB}}=-19 \ kN\\ \end{aligned} Coordonnée de la valeur extrême du moment à l'élément BC: \begin{aligned} &\frac{x}{21}=\frac{5-x}{19}\\ &x=2,625 \ m\\ \end{aligned} Moment extrême \( \mathrm{M}_{\mathrm{ex}}=-5-8 \cdot 2.625 \cdot \frac{2.625}{2}+21 \cdot 2.625=22.56 \mathrm{kNm} \)

Élément AB:

\begin{aligned} &\sum{M_{A}}=0\\ &{Q_{BA}}\cdot 4+5=0\\ &{Q_{BA}}=-1,25 \ kN\\ &{Q_{AB}}=-1,25\\ \end{aligned}

Élément CD:

\begin{aligned} &\sum{M_{D}}=0\\ &{Q_{CD}}\cdot 4+10-15=0\\ &{Q_{CD}}=1,25 \ kN\\ &{Q_{DC}}=1,25 \ kN\\ \end{aligned}

Graphiques finaux des forces normales [kN]

Calculs pour le graphique des forces longitudinales

nœud B \begin{aligned} &\sum{X}=0\\ &N_{BC}=-1,25 \ kN\\ &\sum{Y}=0\\ &N_{BA}=-21 \ kN\\ \end{aligned}

nœud C \begin{aligned} &\sum{X}=0\\ &N_{CB}=-1,25 \ kN\\ &\sum{Y}=0\\ &N_{CD}=-19 \ kN\\ \end{aligned}

Graphiques des forces axiales [kN]

6. Vérification cinématique

Nous choisissons un système déterminable et traçons le graphique des moments en fonction de la force unitaire. (degré de non-déterminabilité statique SSN=1)

\begin{aligned} &\delta_1 =\int \frac{M_{ost}\cdot M_{1}}{EJ} dx= \frac{1}{EI} \left( -\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 5\cdot 4 -\frac{1}{3} \cdot 1\cdot 5\cdot 5 +\frac{1}{3} \frac{8\cdot 5^2}{8} \cdot 1 \cdot 5 -\frac{4}{6} \cdot (2\cdot 1\cdot 15 + 10)\right) \approx 0\\ \end{aligned}

7. Vérification statique

Nous lisons les réactions (valeurs et sens corrects) à partir des graphiques des forces normales, tranchantes et des moments fléchissants.
Ensuite, nous écrivons les équations d'équilibre statique et vérifions si toutes les équations sont satisfaites pour ces réactions lues.

\begin{aligned} &\sum{X}=0 \hspace{2cm} 1,25-1,25=0\\ &\sum{Y}=0 \hspace{2cm} 21+19-4\cdot8=0\\ &\sum{M_{E}}=0\hspace{1.65cm} 21\cdot 2,5-1,25\cdot 4+10-15+1,25\cdot 4-19\cdot 2,5=0\\ \end{aligned}