Le vecteur moment est perpendiculaire au plan de charge (illustration ci-dessous).

La valeur du moment au niveau de la section la plus chargée est de 2 kNm.

Ce moment est décomposé en directions principales centrales.

Dans l'exemple précédent, nous avons immédiatement marqué les axes principaux centraux à un angle de 45 degrés. Il est également possible de calculer les moments d'inertie centraux d'abord, le moment de déviation et l'angle de rotation par rapport aux axes principaux centraux comme indiqué ci-dessous.

\begin{aligned} &I_y=I_z=\frac{9^4}{36}=182,25\ cm^4\\ &D=\frac{9^4}{72}=91,125\ cm^4\\ &I_{1,2}=\frac{I_y+I_z}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_y-I_z}{2})^2+D^2}\\ &I_1=273,375\ cm^4\\ &I_2=91,125\ cm^4\\ &tg_{\varphi_1}=\frac{D}{I_z-I_1}\Rightarrow \varphi_1=-45^o\\ \\ \\ &M_1=M_2=M=M_y\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\ kNm\\ &\sigma=\frac{M_1}{I_1}z-\frac{M_2}{I_2}y=M\cdot (\frac{z}{I_1}-\frac{y}{I_2})\\ &\text{Axe neutre} \sigma=0\\ &M\cdot (\frac{z}{I_1}-\frac{y}{I_2})=0\\ &z=\frac{y\cdot I_1}{I_2}\\ &z=3y\\ \end{aligned}

Deux points arbitraires définissent une ligne droite (axe neutre).

\begin{aligned} &y=0, z=0\\ &y=1, z=3\\ \end{aligned}

Contraintes normales

Coordonnées des points dans le système d'axes principaux centraux

\begin{aligned} &\sigma=\frac{\sqrt{2}\cdot 10^3}{273,375\cdot 10^{-8}}\cdot z\cdot 10^{-2}-\frac{\sqrt{2}\cdot 10^3}{91,125\cdot 10^{-8}}\cdot y\cdot 10^{-2}\\ &\sigma=5,173\cdot 10^6\cdot z-15,519\cdot 10^6\cdot y=5,173z-15,519y\ [MPa]\\ \\ &A (-1,5\sqrt{2}; 4,5\sqrt{2})\\ &\sigma_A=5,173\cdot 4,5\sqrt{2}-15,519\cdot (-1,5\sqrt{2})=65,84\ MPa\\ \\ &B (3\sqrt{2}; 0)\\ &\sigma_B=-15,519\cdot (3\sqrt{2})=-65,84\ MPa\\ \end{aligned}

Flexion

Résistance des matériaux - Flexion - Exemple 8

Exemple 8