Krótki opis
Narzędzie do analizy układów mechanicznych z dwoma stopniami swobody.
Kalkulator na podstawie wprowadzonych danych:
- wyników całkowania wykresów momentów (δᵢⱼ) od sił jednostkowych na stopniach swobód dynamicznych,
- mas na tych stopniach swobód dynamicznych (m₁ i m₂),
umożliwia obliczenie wybranych parametrów drgań własnych.
Wyniki
Kalkulator oferuje rozwiązanie dwoma opisanymi szerzej w sekcji Przewodnik po narzędziu algorytmami - Metoda macierzowa i metoda wzorami.
Przykładowy raport z obliczeń można zobaczyć w sekcji Instrukcja użytkowania
Wszystkie wyniki są pokazywane w formie czytelnych wzorów matematycznych wraz z kolejnymi krokami obliczeń, co pozwala na weryfikację i zrozumienie procesu obliczeniowego.
Instrukcja użytkowania
Jak używać
1. Wprowadź współczynniki podatności δᵢⱼ.
2. Podaj masy m₁ i m₂.
3. Wybierz metodę obliczenia częstości drgań własnych.
4. Wybierz metodę obliczenie amplitud drgań własnych.
5. Wskaż czy raport ma zawierać oszacowanie podstawowej (ω₁) częstości drgań własnych metodami przybliżonymi.
6. Kliknij przycisk Pokaż obliczenia.
Zobacz przykładowy raport dla metody macierzowej
Zobacz przykładowy raport dla metody wzorami
Więcej informacji na temat metod obliczenia częstości i amplitud drgań własnych znajdziesz w panelu Meotda macierzowa oraz Metoda wzorami. Warto zacząć lekturę od sekcji Drgania własne - teoria, żeby przypomnieć sobie od czego wychodzimy rozważając drgania własne.
Drgania własne - teoria
Opisanie drgań własnych układu o skończonej liczbie stopni swobody dynamicznych (LSSD = n) sprowadza się do rozwiązania problemu własnego dynamiki, a więc jednorodnego macierzowego równania algebraicznego typu:
\( (K - ω^2\cdot M)A = 0 \)
W powyższym równaniu występuje macierz sztywności układu dyskretnego K
oraz macierz mas M. Obie macierze są kwadratowe.
Rozwiązaniem powyższego problemu jest n par własnych, tzn. n wartości
własnych i n wektorów własnych, które w problemie własnym dynamiki zapiszemy
jako (ωi, Ai ), dla i = 1, ..., n. Przez ωi oraz
Ai oznaczyliśmy i-tą częstość kołową własną oraz związaną z nią
i-tą formę drgań własnych, dla i = 1, ..., n, gdzie n = LSSD.
Niezerowe rozwiązanie problemu własnego dynamiki otrzymujemy, gdy:
\( det(K - ω^2\cdot M) = 0 \)
co oznacza poszukiwanie n pierwiastków równania algebraicznego n-tego stopnia. Każdy pierwiastek to kwadrat częstości \( {\omega_i}^2 \), dla i = 1, ..., n.
Problem własny dynamiki można zapisać także za pomocą równania zawierającego macierz podatności konstrukcji D (i z tej postaci będziemy korzystać!):
\( (ω^2\cdot D M - I)A = 0 \)
Między powyższymi wielkościami zachodzą następujące związki:
\(KD = DK = I \)
Metoda macierzowa
Wyprowadzenie wyznacznika macierzy do obliczenia częstości drgań własnych dla LSSD=2
Równanie początkowe (zobacz Drgania własne - teoria):
\( det(\omega^2 DM - I)A = 0 \)
gdzie:
macierz podatności:
\[
D = \begin{bmatrix}
\delta_{11} & \delta_{12} \\
\delta_{21} & \delta_{22}
\end{bmatrix}
\]
macierz mas:
\[
M = \begin{bmatrix}
m_1 & 0 \\
0 & m_2
\end{bmatrix}
\]
macierz jednostkowa:
\[
I = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]
Podstawienie:
\( \omega^2 \begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} \\ \delta_{21} & \delta_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 0 \)
Wymnożenie \( \omega^2 \):
\( \begin{bmatrix} \delta_{11} \omega^2 & \delta_{12} \omega^2 \\ \delta_{21} \omega^2 & \delta_{22} \omega^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 0 \)
Przemnożenie macierzy:
\( \begin{bmatrix} \delta_{11} m_1 \omega^2 & \delta_{12} m_2 \omega^2 \\ \delta_{21} m_1 \omega^2 & \delta_{22} m_2 \omega^2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = 0 \)
Odjęcie macierzy – mamy wynikowy wyznacznik:
\( \begin{bmatrix} \delta_{11} m_1 \omega^2 - 1 & \delta_{12} m_2 \omega^2 \\ \delta_{21} m_1 \omega^2 & \delta_{22} m_2 \omega^2 - 1 \end{bmatrix} = 0 \)
Dzieląc obie strony równania przez \( \omega^2 \), otrzymujemy:
\( \begin{bmatrix} \delta_{11} m_1 - \frac{1}{\omega^2} & \delta_{12} m_2 \\ \delta_{21} m_1 & \delta_{22} m_2 - \frac{1}{\omega^2} \end{bmatrix} = 0 \)
Amplitudy drgań własnych
\( \det(\omega^2 DM - I) = 0 \)
\( \begin{bmatrix} \delta_{11} m_1 - \frac{1}{\omega^2} & \delta_{12} m_2 \\ \delta_{21} m_1 & \delta_{22} m_2 - \frac{1}{\omega^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} = 0 \)
Układ równań od którego wychodzimy w kalkulatorze:
\( \left( \delta_{11} m_1 - x \right)A_1 + \delta_{12} m_2 A_2 = 0 \)
\( \delta_{21} m_1 A_1 + \left( \delta_{22} m_2 - x \right)A_2 = 0 \)
gdzie \( x=\frac{1}{\omega^2}\cdot \frac{EI}{m} \)
Metoda wzorami
Nazwa "metoda wzorami" jest naszą nazwą roboczą. Polega ona na wyprowadzeniu i korzystaniu z wyprowadzonego wzoru na częstości drgań własnych (zamiast jak w klasycznym podejściu obliczać częstości z wyznacznika z macierzy).
Wzory na częstości drgań własnych:
$$ \omega_1 = \sqrt{\frac{L - \sqrt{L^2 - 2S}}{S}} $$
$$ \omega_2 = \sqrt{\frac{L + \sqrt{L^2 - 2S}}{S}} $$
gdzie:
\[ L = m_1 \cdot \delta_{11} + m_2 \cdot \delta_{22} \]
\[ S = 2 \cdot m_1 \cdot m_2 (\delta_{11} \cdot \delta_{22} - {\delta_{12}}^2) \]
Wyprowadzenie
Rozważamy równanie:
\[ \det\left(\omega^2 D M - I\right) = 0 \]
gdzie:
\[ D = \begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} \\ \delta_{21} & \delta_{22} \end{bmatrix} \] – macierz podatności, \[ M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix} \] – macierz mas, \[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] – macierz jednostkowa.
Zakładamy, że \(\delta_{12} = \delta_{21}\), ponieważ \(D\) jest macierzą symetryczną.
Rozwinięcie wyznacznika
Wyznacznik równania: \[ \det\left(\omega^2 D M - I\right) = \det\left( \begin{bmatrix} \omega^2 \delta_{11} m_1 - 1 & \omega^2 \delta_{12} m_1 \\ \omega^2 \delta_{12} m_2 & \omega^2 \delta_{22} m_2 - 1 \end{bmatrix} \right) \]
Rozwijamy wyznacznik:
\[ \det\left(\omega^2 D M - I\right) = (\omega^2 \delta_{11} m_1 - 1)(\omega^2 \delta_{22} m_2 - 1) - (\omega^2 \delta_{12})^2 m_1 m_2 \]
Przekształcenie równania
Upraszczamy wyrażenie: \[ \det\left(\omega^2 D M - I\right) = \omega^4 \delta_{11} \delta_{22} m_1 m_2 - \omega^2 (\delta_{11} m_1 + \delta_{22} m_2) + 1 - \omega^4 \delta_{12}^2 m_1 m_2 \]
Porządkujemy względem \(\omega^2\):
\[ \omega^4 m_1 m_2 (\delta_{11} \delta_{22} - \delta_{12}^2) - \omega^2 (\delta_{11} m_1 + \delta_{22} m_2) + 1 = 0 \]
Wprowadzenie zmiennych pomocniczych
Wprowadzamy zmienne:
\[ L = m_1 \delta_{11} + m_2 \delta_{22} \] \[ S = 2 m_1 m_2 (\delta_{11} \delta_{22} - \delta_{12}^2) \]
Równanie przyjmuje postać:
\[ \frac{S}{2} \omega^4 - L \omega^2 + 1 = 0 \]
Rozwiązanie równania kwadratowego
Podstawiamy \(x = \omega^2\):
\[ \frac{S}{2} x^2 - L x + 1 = 0 \]
Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem \(x\):
\[ x = \frac{L \pm \sqrt{L^2 - 2S}}{S} \]
Wracamy do \(\omega^2 = x\), co daje:
\[ {\omega_1}^2 = \frac{L - \sqrt{L^2 - 2S}}{S} \] \[ {\omega_2}^2 = \frac{L + \sqrt{L^2 - 2S}}{S} \]
Bierzemy pierwiastek, by uzyskać końcowe wzory:
\[ \omega_1 = \sqrt{\frac{L - \sqrt{L^2 - 2S}}{S}} \] \[ \omega_2 = \sqrt{\frac{L + \sqrt{L^2 - 2S}}{S}} \]
Amplitudy drgań własnych
W Metodzie macierzowej wyprowadziliśmy układ równań dla LSSD=2
\( \left( \delta_{11} m_1 - \frac{1}{\omega^2} \right)A_1 + \delta_{12} m_2 A_2 = 0 \)
\( \delta_{21} m_1 A_1 + \left( \delta_{22} m_2 - \frac{1}{\omega^2} \right)A_2 = 0 \)
Przemnożmy oba równania przez \( \omega^2 \)
\( \left( \delta_{11} m_1 \omega^2 - 1 \right)A_1 + \delta_{12} m_2 \omega^2 A_2 = 0 \)
\( \delta_{21} m_1 \omega^2 A_1 + \left( \delta_{22} m_2 - 1 \right)A_2 = 0 \)
Należy pamiętać, że ten układ równań zawsze ma nieskończenie wiele rozwiązań, więc jeśli chcemy pokazać jedno jego rozwiązanie, to wystarczy, że założymy za jedną z amplitud dowolną wartość (najczęściej \(A_1 = 1 \) ) i obliczymy (wystarczy to zrobić z jednego równania) drugą amplitudę.
Przekształcenie pierwszego równania tak, żeby obliczać z niego amplitudę \(A_2 \) zakładając dowolną amplitudę \( A_1 \) prowadzi nas do wzoru:
\[A_{2i} = \frac{1 - \delta_{11} \cdot m_1 \cdot \omega_i^2}{\delta_{12} \cdot m_2 \cdot \omega_i^2} \cdot A_{1i} \]