Krótki opis

Narzędzie do analizy układów mechanicznych z dwoma stopniami swobody.
Kalkulator na podstawie wprowadzonych danych:
- wyników całkowania wykresów momentów (δᵢⱼ) od sił jednostkowych na stopniach swobód dynamicznych,
- mas na tych stopniach swobód dynamicznych (m₁ i m₂),
umożliwia obliczenie wybranych parametrów drgań własnych.

Wyniki

Kalkulator oferuje rozwiązanie dwoma opisanymi szerzej w sekcji Przewodnik po narzędziu algorytmami - Metoda macierzowa i metoda wzorami.
Przykładowy raport z obliczeń można zobaczyć w sekcji Instrukcja użytkowania

Wszystkie wyniki są pokazywane w formie czytelnych wzorów matematycznych wraz z kolejnymi krokami obliczeń, co pozwala na weryfikację i zrozumienie procesu obliczeniowego.

Instrukcja użytkowania

Jak używać

1. Wprowadź współczynniki podatności δᵢⱼ.
2. Podaj masy m₁ i m₂.
3. Wybierz metodę obliczenia częstości drgań własnych.
4. Wybierz metodę obliczenie amplitud drgań własnych.
5. Wskaż czy raport ma zawierać oszacowanie podstawowej (ω₁) częstości drgań własnych metodami przybliżonymi.
6. Kliknij przycisk Pokaż obliczenia.

Zobacz przykładowy raport dla metody macierzowej
Zobacz przykładowy raport dla metody wzorami

Więcej informacji na temat metod obliczenia częstości i amplitud drgań własnych znajdziesz w panelu Meotda macierzowa oraz Metoda wzorami. Warto zacząć lekturę od sekcji Drgania własne - teoria, żeby przypomnieć sobie od czego wychodzimy rozważając drgania własne.

Drgania własne - teoria

Opisanie drgań własnych układu o skończonej liczbie stopni swobody dynamicznych (LSSD = n) sprowadza się do rozwiązania problemu własnego dynamiki, a więc jednorodnego macierzowego równania algebraicznego typu:

$(K-{\omega }^2\cdot M)A=0$

W powyższym równaniu występuje macierz sztywności układu dyskretnego K oraz macierz mas M. Obie macierze są kwadratowe.
Rozwiązaniem powyższego problemu jest n par własnych, tzn. n wartości własnych i n wektorów własnych, które w problemie własnym dynamiki zapiszemy jako (ω_i, A_i ), dla i = 1, ..., n. Przez ω_i oraz A_i oznaczyliśmy i-tą częstość kołową własną oraz związaną z nią i-tą formę drgań własnych, dla i = 1, ..., n, gdzie n = LSSD.

Niezerowe rozwiązanie problemu własnego dynamiki otrzymujemy, gdy:

$det(K-{\omega }^2\cdot M)=0$

co oznacza poszukiwanie n pierwiastków równania algebraicznego n-tego stopnia. Każdy pierwiastek to kwadrat częstości ${{\omega }_i}^2$, dla i = 1, ..., n.

Problem własny dynamiki można zapisać także za pomocą równania zawierającego macierz podatności konstrukcji D (i z tej postaci będziemy korzystać!):

$({\omega }^2\cdot DM-I)A=0$

Między powyższymi wielkościami zachodzą następujące związki:

$KD=DK=I$

Metoda macierzowa

Wyprowadzenie wyznacznika macierzy do obliczenia częstości drgań własnych dla LSSD=2

Równanie początkowe (zobacz Drgania własne - teoria):

$det({\omega }^{2}DM-I)A=0$

gdzie:

macierz podatności:
$$D=\left[\begin{array}{cc}{\delta }_{11}& {\delta }_{12}\\ {\delta }_{21}& {\delta }_{22}\end{array}\right]$$ macierz mas:
$$M=\left[\begin{array}{cc}{m}_1& 0\\ 0& m_2\end{array}\right]$$ macierz jednostkowa:
$$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

Podstawienie:

${\omega }^2\left[\begin{array}{cc}{\delta }_{11}& {\delta }_{12}\\ {\delta }_{21}& {\delta }_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{m}_1& 0\\ 0& m_2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=0$

Wymnożenie ${\omega }^2$:

$\left[\begin{array}{cc}{\delta }_{11}{\omega }^2& {\delta }_{12}{\omega }^2\\ {\delta }_{21}{\omega }^2& {\delta }_{22}{\omega }^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{m}_1& 0\\ 0& m_2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=0$

Przemnożenie macierzy:

$\left[\begin{array}{cc}{\delta }_{11}{m}_1{\omega }^2& {\delta }_{12}{m}_2{\omega }^2\\ {\delta }_{21}{m}_1{\omega }^2& {\delta }_{22}{m}_2{\omega }^2\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=0$

Odjęcie macierzy – mamy wynikowy wyznacznik:

$\left[\begin{array}{cc}{\delta }_{11}{m}_1{\omega }^2-1& {\delta }_{12}{m}_2{\omega }^2\\ {\delta }_{21}{m}_1{\omega }^2& {\delta }_{22}{m}_2{\omega }^2-1\end{array}\right]=0$

Dzieląc obie strony równania przez ${\omega }^2$, otrzymujemy:

$\left[\begin{array}{cc}{\delta }_{11}{m}_1-\frac{1}{{\omega }^2}& {\delta }_{12}{m}_2\\ {\delta }_{21}{m}_1& {\delta }_{22}{m}_2-\frac{1}{{\omega }^2}\end{array}\right]=0$

Amplitudy drgań własnych

$det({\omega }^{2}DM-I)=0$

$\left[\begin{array}{cc}{\delta }_{11}{m}_1-\frac{1}{{\omega }^2}& {\delta }_{12}{m}_2\\ {\delta }_{21}{m}_1& {\delta }_{22}{m}_2-\frac{1}{{\omega }^2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]=0$

Układ równań od którego wychodzimy w kalkulatorze:

$({\delta }_{11}{m}_1-x)A_1+{\delta }_{12}{m}_2{A}_2=0$

${\delta }_{21}{m}_1{A}_1+({\delta }_{22}{m}_2-x)A_2=0$

gdzie $x=\frac{1}{{\omega }^2}\cdot \frac{EI}{m}$

Metoda wzorami

Nazwa "metoda wzorami" jest naszą nazwą roboczą. Polega ona na wyprowadzeniu i korzystaniu z wyprowadzonego wzoru na częstości drgań własnych (zamiast jak w klasycznym podejściu obliczać częstości z wyznacznika z macierzy).

Wzory na częstości drgań własnych:

$${\omega }_1=\sqrt{\frac{L-\sqrt{L^2-2S}}{S}}$$

$${\omega }_2=\sqrt{\frac{L+\sqrt{L^2-2S}}{S}}$$

gdzie:

$$L=m_1\cdot {\delta }_{11}+m_2\cdot {\delta }_{22}$$

$$S=2\cdot m_1\cdot m_2({\delta }_{11}\cdot {\delta }_{22}-{{\delta }_{12}}^2)$$

Wyprowadzenie

Rozważamy równanie:

$$det({\omega }^{2}DM-I)=0$$

gdzie:

$$D=\left[\begin{array}{cc}{\delta }_{11}& {\delta }_{12}\\ {\delta }_{21}& {\delta }_{22}\end{array}\right]$$ – macierz podatności, $$M=\left[\begin{array}{cc}{m}_1& 0\\ 0& m_2\end{array}\right]$$ – macierz mas, $$I=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$ – macierz jednostkowa.

Zakładamy, że ${\delta }_{12}={\delta }_{21}$, ponieważ $D$ jest macierzą symetryczną.

Rozwinięcie wyznacznika

Wyznacznik równania: $$det({\omega }^{2}DM-I)=det\left(\left[\begin{array}{cc}{\omega }^2{\delta }_{11}{m}_1-1& {\omega }^2{\delta }_{12}{m}_1\\ {\omega }^2{\delta }_{12}{m}_2& {\omega }^2{\delta }_{22}{m}_2-1\end{array}\right]\right)$$

Rozwijamy wyznacznik:

$$det({\omega }^{2}DM-I)=({\omega }^2{\delta }_{11}{m}_1-1)({\omega }^2{\delta }_{22}{m}_2-1)-({\omega }^2{\delta }_{12}{)}^2{m}_1{m}_2$$

Przekształcenie równania

Upraszczamy wyrażenie: $$det({\omega }^{2}DM-I)={\omega }^4{\delta }_{11}{\delta }_{22}{m}_1{m}_2-{\omega }^2({\delta }_{11}{m}_1+{\delta }_{22}{m}_2)+1-{\omega }^4{\delta }_{12}^2{m}_1{m}_2$$

Porządkujemy względem ${\omega }^2$:

$${\omega }^4{m}_1{m}_2({\delta }_{11}{\delta }_{22}-{\delta }_{12}^2)-{\omega }^2({\delta }_{11}{m}_1+{\delta }_{22}{m}_2)+1=0$$

Wprowadzenie zmiennych pomocniczych

Wprowadzamy zmienne:

$$L=m_1{\delta }_{11}+m_2{\delta }_{22}$$ $$S=2m_1{m}_2({\delta }_{11}{\delta }_{22}-{\delta }_{12}^2)$$

Równanie przyjmuje postać:

$$\frac{S}{2}{\omega }^4-L{\omega }^2+1=0$$

Rozwiązanie równania kwadratowego

Podstawiamy $x={\omega }^2$:

$$\frac{S}{2}{x}^2-Lx+1=0$$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem $x$:

$$x=\frac{L\pm \sqrt{L^2-2S}}{S}$$

Wracamy do ${\omega }^2=x$, co daje:

$${{\omega }_1}^2=\frac{L-\sqrt{L^2-2S}}{S}$$ $${{\omega }_2}^2=\frac{L+\sqrt{L^2-2S}}{S}$$

Bierzemy pierwiastek, by uzyskać końcowe wzory:

$${\omega }_1=\sqrt{\frac{L-\sqrt{L^2-2S}}{S}}$$ $${\omega }_2=\sqrt{\frac{L+\sqrt{L^2-2S}}{S}}$$

Amplitudy drgań własnych

W Metodzie macierzowej wyprowadziliśmy układ równań dla LSSD=2

$({\delta }_{11}{m}_1-\frac{1}{{\omega }^2})A_1+{\delta }_{12}{m}_2{A}_2=0$

${\delta }_{21}{m}_1{A}_1+({\delta }_{22}{m}_2-\frac{1}{{\omega }^2})A_2=0$

Przemnożmy oba równania przez ${\omega }^2$

$({\delta }_{11}{m}_1{\omega }^2-1)A_1+{\delta }_{12}{m}_2{\omega }^2{A}_2=0$

${\delta }_{21}{m}_1{\omega }^2{A}_1+({\delta }_{22}{m}_2-1)A_2=0$

Należy pamiętać, że ten układ równań zawsze ma nieskończenie wiele rozwiązań, więc jeśli chcemy pokazać jedno jego rozwiązanie, to wystarczy, że założymy za jedną z amplitud dowolną wartość (najczęściej $A_1=1$ ) i obliczymy (wystarczy to zrobić z jednego równania) drugą amplitudę.

Przekształcenie pierwszego równania tak, żeby obliczać z niego amplitudę $A_2$ zakładając dowolną amplitudę $A_1$ prowadzi nas do wzoru:

$$A_{2i}=\frac{1-{\delta }_{11}\cdot m_1\cdot {\omega }_i^2}{{\delta }_{12}\cdot m_2\cdot {\omega }_i^2}\cdot A_{1i}$$

Kalkulator drgań własnych

Wprowadź wyniki całkowania

δ₁₁ =

$\frac{1}{EI}$

δ₁₂ =

$\frac{1}{EI}$

δ₂₂ =

$\frac{1}{EI}$

Wprowadź masy

m₁ =

m

m₂ =

m

Wybierz metodę obliczenia częstości drgań własnych

Metoda macierzowa

Metoda wzorami

Wybierz metodę obliczenia amplitud drgań własnych

Metoda macierzowa

Metoda wzorami

Raport ma zawierać

Oszacowanie podstawowej częstości drgań własnych metodami przybliżonymi

Pokaż obliczenia