Narzędzie do analizy układów mechanicznych z dwoma stopniami swobody.
Kalkulator na podstawie wprowadzonych danych:
- wyników całkowania wykresów momentów (δᵢⱼ) od sił jednostkowych na stopniach swobód dynamicznych,
- mas na tych stopniach swobód dynamicznych (m₁ i m₂),
umożliwia obliczenie wybranych parametrów drgań własnych.
Kalkulator oferuje rozwiązanie dwoma opisanymi szerzej w sekcji Przewodnik po narzędziu algorytmami - Metoda macierzowa i metoda wzorami.
Przykładowy raport z obliczeń można zobaczyć w sekcji Instrukcja użytkowania
Wszystkie wyniki są pokazywane w formie czytelnych wzorów matematycznych wraz z kolejnymi krokami obliczeń, co pozwala na weryfikację i zrozumienie procesu obliczeniowego.
1. Wprowadź współczynniki podatności δᵢⱼ.
2. Podaj masy m₁ i m₂.
3. Wybierz metodę obliczenia częstości drgań własnych.
4. Wybierz metodę obliczenie amplitud drgań własnych.
5. Wskaż czy raport ma zawierać oszacowanie podstawowej (ω₁) częstości drgań własnych metodami przybliżonymi.
6. Kliknij przycisk Pokaż obliczenia.
Zobacz przykładowy raport dla metody macierzowej
Zobacz przykładowy raport dla metody wzorami
Więcej informacji na temat metod obliczenia częstości i amplitud drgań własnych znajdziesz w panelu Meotda macierzowa oraz Metoda wzorami. Warto zacząć lekturę od sekcji Drgania własne - teoria, żeby przypomnieć sobie od czego wychodzimy rozważając drgania własne.
Opisanie drgań własnych układu o skończonej liczbie stopni swobody dynamicznych
(LSSD = n) sprowadza się do rozwiązania problemu własnego dynamiki,
a więc jednorodnego macierzowego równania algebraicznego typu:
W powyższym równaniu występuje macierz sztywności układu dyskretnego K
oraz macierz mas M. Obie macierze są kwadratowe.
Rozwiązaniem powyższego problemu jest n par własnych, tzn. n wartości
własnych i n wektorów własnych, które w problemie własnym dynamiki zapiszemy
jako (ωi, Ai ), dla i = 1, ..., n. Przez ωi oraz
Ai oznaczyliśmy i-tą częstość kołową własną oraz związaną z nią
i-tą formę drgań własnych, dla i = 1, ..., n, gdzie n = LSSD.
Niezerowe rozwiązanie problemu własnego dynamiki otrzymujemy, gdy:
co oznacza poszukiwanie n pierwiastków równania algebraicznego
n-tego stopnia. Każdy pierwiastek to kwadrat częstości
, dla i = 1, ..., n.
Problem własny dynamiki można zapisać także za pomocą równania zawierającego macierz
podatności konstrukcji D (i z tej postaci będziemy korzystać!):
Między powyższymi wielkościami zachodzą następujące związki:
Wyprowadzenie wyznacznika macierzy do obliczenia częstości drgań własnych dla LSSD=2
Równanie początkowe (zobacz Drgania własne - teoria):
gdzie:
macierz podatności:
macierz mas:
macierz jednostkowa:
Podstawienie:
Wymnożenie :
Przemnożenie macierzy:
Odjęcie macierzy – mamy wynikowy wyznacznik:
Dzieląc obie strony równania przez , otrzymujemy:
Układ równań od którego wychodzimy w kalkulatorze:
gdzie
Nazwa "metoda wzorami" jest naszą nazwą roboczą. Polega ona na wyprowadzeniu i korzystaniu z wyprowadzonego wzoru na częstości drgań własnych (zamiast jak w klasycznym podejściu obliczać częstości z wyznacznika z macierzy).
Wzory na częstości drgań własnych:
gdzie:
Rozważamy równanie:
gdzie:
– macierz podatności,
– macierz mas,
– macierz jednostkowa.
Zakładamy, że , ponieważ jest macierzą symetryczną.
Wyznacznik równania:
Rozwijamy wyznacznik:
Upraszczamy wyrażenie:
Porządkujemy względem :
Wprowadzamy zmienne:
Równanie przyjmuje postać:
Podstawiamy :
Rozwiązujemy równanie kwadratowe względem :
Wracamy do , co daje:
Bierzemy pierwiastek, by uzyskać końcowe wzory:
W Metodzie macierzowej wyprowadziliśmy układ równań dla LSSD=2
Przemnożmy oba równania przez
Należy pamiętać, że ten układ równań zawsze ma nieskończenie wiele rozwiązań, więc jeśli chcemy pokazać jedno jego rozwiązanie, to wystarczy, że założymy za jedną z amplitud dowolną wartość (najczęściej ) i obliczymy (wystarczy to zrobić z jednego równania) drugą amplitudę.
Przekształcenie pierwszego równania tak, żeby obliczać z niego amplitudę zakładając dowolną amplitudę prowadzi nas do wzoru: