1. Wyznaczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności:

\begin{aligned} &SKN=\sum \varphi +\sum \Delta\\ &SKN=1+1=2\\ \end{aligned}

2. Wybranie układu podstawowego metody przemieszczeń (UPMP)

Redukujemy od razu część wyznaczalną (od punktu C na prawo, niepodparty wolny koniec).
Przenosimy siłę 30 oraz 10, dodatkowo siła 10 na ramieniu 2 robi prawoskrętny moment względem punktu C.

Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń:
\( r_{11}\cdot\varphi_{1} +r_{12}\cdot\Delta_{2}+r_{1p}=0\\ r_{21}\cdot\varphi_{1} +r_{22}\cdot\Delta_{2}+r_{2p}=0\\ \)

3. Wykresy i wyznaczenie współczynników i wyrazów wolnych równania

Wyznaczenie współczynników UPMP

\begin{aligned} &r_{11}=1EI+\frac{3EI}{4}=\frac{7EI}{4}\\ \\ \\ \\ \\ \\ &r_{21}=-\frac{3EI}{8}\\ \end{aligned}

Wyznaczenie współczynników UPMP

\begin{aligned} &r_{12}=-\frac{3EI}{8}\\ \\ \\ \\ \\ \\ &r_{22}=\frac{3EI}{64}+\frac{3EI}{16}=\frac{15EI}{64}\\ \end{aligned}

Rysowanie wykresu momentów na pręcie poziomym metodą superpozycji

Wyznaczenie współczynników UPMP

\begin{aligned} &r_{1p}=-20+20+10=10\\ \\ \\ \\ &r_{2p}=-30\\ \end{aligned}

4. Rozwiązanie układu równań kanonicznych

\begin{aligned} &\frac{7EI}{4}\cdot\varphi_{1} -\frac{3EI}{8}\cdot\Delta_{2}=-10\\ &-\frac{3EI}{8}\cdot\varphi_{1} +\frac{15EI}{64}\cdot\Delta_{2}=30\\ \\ &\varphi_{1} =33,043/EI\\ &\Delta_{2}=180,87/EI\\ \end{aligned}

5. Wykres ostateczny momentów ze wzoru superpozycyjnego

\begin{aligned} &M_{ost}=M_{1} \cdot \varphi_{1}+M_{2} \cdot \Delta_{2}+M_{p}\\ \end{aligned} Tym razem inaczej niż w poprzednim przykładzie zamiast rozpisywać momenty w punktach charakterystycznych,
narysujemy sobie przemnożone wykresy \( M_1 \cdot \varphi_1 \) oraz \( M_2 \cdot \Delta_2 \) a także przerysujemy wykres Mp.
Suma tych trzech wykresów daje nam moment ostateczny zgodnie z powyższym wzorem.

Obliczenia do wykresu sił poprzecznych

Element BC:

\begin{aligned} &\sum{M_{C}}=0\\ &{Q_{BC}}\cdot 4-10\cdot 4\cdot 2+54,78+20=0\\ &{Q_{BC}}=1,305 \ kN\\ \\ &\sum{y}=0\\ &Q_{BC}-40-Q_{CB}=0\\ &{Q_{CB}}=-38,695 \ kN\\ \end{aligned} Współrzędna ekstremalnej wartości momentu
w elemencie BC:
\begin{aligned} &\frac{x}{1,305}=\frac{4-x}{38,695}\\ &x=0,135 \ m\\ \end{aligned}

moment ekstremalny
\( \mathrm{M}_{\mathrm{ex}}=20-10 \cdot 0.135 \cdot \frac{0.135}{2}+Q_{BC} \cdot 0.135=20.085 \mathrm{kNm} \)

Element AB:

\begin{aligned} &\sum{M_{A}}=0\\ &{Q_{BA}}\cdot 4-33,91=0\\ &{Q_{BA}}=8,48 \ kN\\ &{Q_{AB}}=8,48 \ kN\\ \end{aligned}

Element CD:

\begin{aligned} &\sum{M_{D}}=0\\ &{Q_{CD}}\cdot 4-34,79-51,31=0\\ &{Q_{CD}}=21,52 \ kN\\ &{Q_{DC}}=21,52 \ kN\\ \end{aligned}

Ostateczny wykres sił tnących [kN]

Obliczenia do wykresu sił podłużnych

węzeł B

\begin{aligned} &\sum{y}=0\\ &N_{BC}=8,48 \ kN\\ &\sum{x}=0\\ &N_{BA}=-1,305 \ kN\\ \end{aligned}

węzeł C

uwaga - o tym że siła normalne na pręcie CE jest równa 30kN
wiemy od początku zadania (spójrz na temat)
\begin{aligned} &\sum{x}=0\\ &N_{CE}=30 \ kN\\ &\sum{y}=0\\ &N_{CD}=-48,695 \ kN\\ \end{aligned}

Wykresy sił osiowych [kN]

6. Sprawdzenie kinematyczne:

Przyjmujemy układ wyznaczalny i rysujemy wykres momentów od siły jednostkowej. (stopień statycznej niewyznaczalności SSN=6-3-1)

Zamieniamy oba utwierdzenia na podpory przegubowe i rysujemy wykres jednostkowy od momentu w punkcie A.

\begin{aligned} &\delta_1= \int \frac{M_{ost}\cdot M_{1}}{EJ} dx=\frac{1}{EI} \left( -\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 4\cdot 33,91 +\frac{4}{6}\cdot( 2\cdot 34,79\cdot 1-51,3) +\frac{4}{6}\cdot(2\cdot 1\cdot 54,78 – 20)-\frac{1}{3}\frac{10\cdot 4^2}{8}\cdot 1\cdot 4 \right)\approx 0\\ \end{aligned}

6. Sprawdzenie statyczne:

Odczytujemy reakcje (wartości i poprawne zwroty) z wykresów sił normalnych, tnących i momentów gnących.
Następnie zapisujemy równania równowagi statycznej i sprawdzamy czy dla tak odczytanych reakcji wszystkie równania są spełnione.

\begin{aligned} &\sum{X}=0\hspace{2cm} 30-8,48-21,52=0\\ &\sum{Y}=0\hspace{2cm} 1,305-40+46,895=0\\ &\sum{M_{D}}=0\hspace{1.65cm} 20+10\cdot 4+1,305\cdot 2-46,895\cdot 2-51,31-33,91+8,48\cdot 4+21,52\cdot 4=0\\ \end{aligned}

Metoda przemieszczeń

Mechanika budowli - Metoda przemieszczeń - Przykład 1

Przykład 1