1. Wyznaczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności:

\begin{aligned} &SKN=\sum \varphi +\sum \Delta\\ &SKN=1+1=2\\ \end{aligned}

2. Wybranie układu podstawowego metody przemieszczeń (UPMP):

Układ równań kanonicznych metody przemieszczeń:
\( r_{11}\cdot\varphi_{1} +r_{12}\cdot\Delta_{2}+r_{1p}=0\\ r_{21}\cdot\varphi_{1} +r_{22}\cdot\Delta_{2}+r_{2p}=0\\ \)

3. Wykresy i wyznaczenie współczynników i wyrazów wolnych równania:

Wyznaczenie współczynników UPMP

\begin{aligned} &r_{11}=\frac{3 E I}{5}+1 E I=\frac{8 E I}{5} \\ \\ \\ \\ \\ &r_{21}=-\frac{6 E I}{4^{2}}=-\frac{6 E I}{16}=-\frac{3 E I}{8} \end{aligned}

Wyznaczenie współczynników UPMP

\begin{aligned} &r_{12}=-\frac{6 E I}{4^{2}}=-\frac{6 E I}{16} =-\frac{3 E I}{8}\\ \\ \\ \\ \\ &r_{22}=\frac{15 E I}{64} \end{aligned}

Wyznaczenie współczynników UPMP

\begin{aligned} &r_{1 p}=-18,75 \\ \\ \\ \\ &r_{2 p}=0 \end{aligned}

4. Rozwiązanie układu równań:

\begin{aligned} &\frac{8 EI}{5} \cdot \varphi_{1}-\frac{6 EI}{16} \cdot \Delta_{2}=18,75 \\ &-\frac{6 EI}{16} \cdot \varphi_{1}+\frac{15 EI}{64} \cdot \Delta_{2}=0 \\ \\ &\varphi_{1}=\frac{18,75}{E I} \\ &\Delta_{2}=\frac{30}{E I} \end{aligned}

5. Wykresy ostateczne sił przekrojowych w ramie:

Wykres momentów [kNm]

\begin{aligned} M_{o s t}=M_{1} \cdot \varphi_{1}+M_{2} \cdot \Delta_{2}+M_p \end{aligned}

\begin{aligned} & \mathrm{M}_{\mathrm{A}}=\frac{1 \mathrm{EI}}{2} \cdot \varphi_1-\frac{6 \mathrm{EI}}{16} \cdot \Delta_2=-1.875 \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{BA}}=-1 \mathrm{EI} \cdot \varphi_1+\frac{6 \mathrm{EI}}{16} \cdot \Delta_2=-7.5 \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{BC}}=\frac{3 \mathrm{EI}}{5} \varphi_1-18.75=-7.5 \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{CB}}=0 \cdot \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{CD}}=0 \cdot \mathrm{kNm} \\ & \mathrm{M}_{\mathrm{D}}=\frac{3 \mathrm{EI}}{16} \cdot \Delta_2=5.625 \mathrm{kNm} \end{aligned}

Nie znamy jeszcze przebiegu paraboli pod obciążeniem ciągłym.
Przebieg poznamy po obliczeniu sił tnących na tym elemencie.

Obliczenia do wykresu sił poprzecznych

Element BC:

\begin{aligned} &\sum M_{C}=0 \\ &Q_{B C} \cdot 5-7,5-6 \cdot 5 \cdot 2,5=0 \\ &Q_{B C}=16,5 \ kN\\ &\sum Y=0 \\ &-Q_{C B}+16,5-30=0 \\ &Q_{C B}=-13,5 \ kN \\ \end{aligned} Współrzędna ekstremalnej wartości momentu
w elemencie BC:
\begin{aligned} &\frac{x}{16,5}=\frac{5-x}{13,5} \\ &x=2,75 \ m \end{aligned}

moment ekstremalny
\( \mathrm{M}_{\mathrm{ex}}=-7,5-6 \cdot 2.75 \cdot \frac{2.75}{2}+Q_{BC} \cdot 2.75=15.1875 \mathrm{kNm} \)

Kompletny wykres momentów

Siły tnące na pozostałych elementach

Element AB:

Odstęp

\begin{aligned} &\Sigma M_A=0 \\ &Q_{B A} \cdot 4+7,5-1,875=0 \\ &Q_{B A}=-1,40625 \ kN\\ &Q_{A B}=-1,40625 \ kN \end{aligned}

Element CD:

Odstęp

\begin{aligned} &\sum_{C D} M_{D}=0 \\ &Q_{C D} \cdot 4-5,625=0 \\ &Q_{C D}=1,40625 \ kN \\ &Q_{D C}=1,40625 \ kN \end{aligned}

Ostateczny wykres sił tnących [kN]

Obliczenia do wykresu sił podłużnych

węzeł B

\begin{aligned} &\sum X=0 \\ &N_{B C}=-1,40625 \ kN \\ &\sum Y=0 \\ &N_{B A}=-16,5 \ kN \end{aligned}

węzeł C

\begin{aligned} \sum X &=0 \\ N_{C B} &=-1,40625 \ kN\\ \sum Y &=0 \\ N_{C D} &=-13,5 \ kN \end{aligned}

Wykresy sił osiowych [kN]

6. Sprawdzenie statyczne:

Odczytujemy reakcje (wartości i poprawne zwroty) z wykresów sił normalnych, tnących i momentów gnących.
Następnie zapisujemy równania równowagi statycznej i sprawdzamy czy dla tak odczytanych reakcji wszystkie równania są spełnione.

\begin{array}{ll} \sum X=0 & 1,40625-1,40625=0 \\ \sum Y=0 & 16,5+13,5-6 \cdot 5=0 \\ \sum M_{D}=0 & 16,5 \cdot 5-1,875-6 \cdot 5 \cdot 2,5-5,625=0 \end{array}

Metoda przemieszczeń

Mechanika budowli - Metoda przemieszczeń - Przykład 4

Przykład 4