W tym przykładzie pokażemy jak można rozwiązać tą samą belką korzystając z dwóch różnych układów podstawowych.

SPOSÓB I

Liczymy stopień statycznej niewyznaczalności SSN i dobieramy układ podstawowy metody sił UPMS.

SSN= 4-3=1

Rysujemy wykres jednostkowy i wykres od obciążenia zewnętrznego.

Stan P

\begin{aligned} &\sum{F_{iY}}=0 & V_C=30+12\cdot4=78\ kN\\ &\sum{M_{C}}=0 & -M_D+12\cdot4\cdot2-30\cdot3=0 & \Longrightarrow M_D=6\ kNm\\ \end{aligned}

Stan x1=1

Wyliczamy X1 i rysujemy wykres momentu ostatecznego.

Równanie kanoniczne metody sił

\(\delta_{11} \cdot x_1 + \Delta {_1}{_P}=0\)

Liczymy współczynnik i wyraz wolny równania kanonicznego.

\(\Delta{_1}{_P}=\)

\(\Delta{_1}{_P}=\frac{1}{EI}(-\frac{1}{6}\cdot3\cdot90\cdot3-\frac{1}{3}\cdot90\cdot6\cdot3- \frac{1}{2}\cdot90\cdot6\cdot4+\frac{1}{2}\cdot6\cdot6\cdot4+\frac{2}{3}\cdot\frac{12\cdot4^{2}}{8}\cdot4\cdot6)=-\frac{1299}{EI}\) \(\delta_{{_1}{_1}}=\\\)

\( \delta_{{_1}{_1}}=\frac{1}{2EI}(\frac{1}{3}\cdot3\cdot3\cdot3)+\frac{1}{EI}(\frac{1}{3}\cdot6\cdot6\cdot3+\frac{1}{3}\cdot3\cdot3\cdot3+\frac{1}{6}\cdot3\cdot6\cdot3\cdot2+\cdot6\cdot6\cdot4)=\frac{211,5}{EI} \)

Rozwiązujemy równanie kanoniczne metody sił i obliczamy szukaną reakcję.

\(X_1=\frac{-\Delta{_1}{_P}}{\delta_{{_1}{_1}}}=6,142\)

Korzystając z metody superpozycji liczymy wartości momentu na wykresie ostatecznym.

\begin{aligned} &M_{OST}=M_1\cdot{X_1}+M_P\\ &M_A=0\\ &M_B=3\cdot{X_1}+0=18,426\\ &M_C=6\cdot{X_1}-90=-53,149\\ &M_D=6\cdot{X_1}+6=42,851\\ \end{aligned}

Rysujemy ostateczny wykres momentu gnącego.

Komentarz do przerywanej linii pod obciążeniem ciągłym (wykres paraboliczny):

Generalnie żeby powiedzieć czy pod obciążeniem ciągłym na wykresie momentów parabola osiągnie między punktami charakterystycznymi wartość ekstremalną, czy nie - należy wyznaczyć wykres sił tnących na tym odcinku i stwierdzić czy na wykresie sił tnących wykres się zeruje. Jeśli się zeruje, to w tym miejscu na wykresie momentów będzie ekstremum. W tym konkretnym przypadku mając intuicję i spoglądając na podparcie i obciążenie belki widzimy, że wykres sił tnących na pewno między tymi punktami charakterystycznymi nie zmienia znaku, gdyż zacznie się od wartości 0 po prawej stronie (brak początkowej siły tnącej) i będzie zmieniał się tylko w jednym kierunku na tym odcinku (obciążenie ciągłe). Dla przypadku ogólnego jednak na tym etapie nie mamy możliwości stwierdzić czy to ekstremum będzie, proponuję więc albo nie rysowania paraboli do momentu obliczenia czy będzie ekstremum, albo rysowania jej przerywaną linią. Są to jednak dość luźne spostrzeżenia i możemy znaleźć różne zdanie na ten temat.

Jako, że według treści zadania celem był tylko wykres Most, nie oblicza się sił tnących w tym zadaniu.

SPOSÓB II

Liczymy stopień statycznej niewyznaczalności SSN i dobieramy układ podstawowy metody sił UPMS.

SSN=4-3=1

Rysujemy wykres jednostkowy i wykres od obciążenia zewnętrznego.

Stan P

\begin{aligned} &\sum{M_{C}}=0 & 12\cdot4\cdot2-M_D=0 & \Longrightarrow M_D=96\ kNm\\ &\sum{M_{A}}=0 & 30\cdot3-V_C\cdot6=0 & \Longrightarrow V_C=15\ kN\\ &\sum{F_{iY}}=0 & V_A+V_C-30=0 & \Longrightarrow V_A=15\ kN\\ \end{aligned}

Stan x1=1

Wyliczamy X1 i rysujemy wykres momentu ostatecznego.

Liczymy współczynnik i wyraz wolny równania kanonicznego.

\(\Delta{_1}{_P}= \)

\( \Delta{_1}{_P}=\frac{1}{2EI}(\frac{1}{3}\cdot45\cdot0,5\cdot3)+\frac{1}{EI}(\frac{1}{3}\cdot0,5\cdot45\cdot3 +\frac{1}{6}\cdot1\cdot45\cdot3+\frac{1}{2}\cdot96\cdot1\cdot4+\frac{2}{3}\cdot\frac{12\cdot4^{2}}{8}\cdot4\cdot1)=\frac{312,25}{EI} \) \(\delta_{{_1}{_1}}=\)

\(\delta_{{_1}{_1}}=\frac{1}{2EI}(\frac{1}{3}\cdot0,5^2\cdot3)+\frac{1}{EI}(\frac{1}{3}\cdot1^2\cdot3+\frac{1}{3}\cdot0,5^2\cdot3+\frac{1}{6}\cdot1\cdot0,5\cdot2\cdot3+1^2\cdot4)=\frac{5,875}{EI}\)

Rozwiązujemy równanie kanoniczne metody sił i obliczamy szukaną reakcję.

\(X_1=-53,149\)

Korzystając z metody superpozycji liczymy wartości momentu na wykresie ostatecznym.

\begin{aligned} &M_{OST}=M_1\cdot{X_1}+M_P\\ &M_A=0\\ &M_B=0,5\cdot{X_1}+45=18,426\\ &M_C=1\cdot{X_1}+0=-53,149\\ &M_D=1\cdot{X_1}+96=42,851\\ \end{aligned}

Metoda sił

Mechanika budowli - Metoda sił - Przykład 2

Przykład 2