1. Wyznaczenie stopnia statycznej niewyznaczalności:

\begin{aligned} &SSN=5-3=2\\ \end{aligned}

2. Wybranie układu podstawowego metody sił:

3. Wykresy w stanach jednostkowych i w stanie P:

Jeśli masz problem z rysowaniem wykresów momentów, zachęcamy do zapoznania się z tym kursem wideo (KLIK)

4. Całkowanie graficzne wykresów:

Więcej informacji na temat całkowania znajdziesz w naszym Wstępie teoretycznym z tego tematu

\begin{aligned} &\delta_{11}=\int \frac{M_{1}\cdot M_{1}}{EJ} dx=\frac{1}{EJ}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &=\frac{1}{EJ}\left( \frac{1}{3}\cdot 6\cdot 6\cdot 6 + 6\cdot 4\cdot 6\right)=\frac{216}{EJ}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &\delta_{12}=\delta_{21}=\int \frac{M_{1}\cdot M_{2}}{EJ} dx=\frac{1}{EJ}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &=\frac{1}{EJ}\left( \frac{1}{3}\cdot 6\cdot 3\cdot 3 + \frac{1}{6}\cdot 3\cdot 3\cdot 3 + 3\cdot 4\cdot 6\right)=\frac{94,5}{EJ}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &\delta_{22}=\int \frac{M_{2}\cdot M_{2}}{EJ} dx=\frac{1}{EJ}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &=\frac{1}{EJ}\left( \frac{1}{3}\cdot 3\cdot 3\cdot 3+ 3\cdot 3\cdot 4\right)=\frac{45}{EJ}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &\Delta_{1p}=\int \frac{M_{1}\cdot M_{p}}{EJ} dx=\frac{1}{EJ} \end{aligned}

\begin{aligned} &=\frac{1}{EJ}\left( -\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 6\cdot 6+\frac{1}{3}\cdot \frac{8\cdot 6^2}{8}\cdot 6\cdot 6-\cdot 134\cdot 6\cdot 2 -\frac{1}{2}\cdot (134+154)\cdot 6\cdot 2\right)= -\frac{4632}{EJ}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &\Delta_{2p}=\int \frac{M_{2}\cdot M_{p}}{EJ} dx=\frac{1}{EJ} \end{aligned}

\begin{aligned} &=\frac{1}{EJ}\left( -\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 3\cdot 3 -\frac{1}{6}\cdot 36\cdot 3\cdot 3+\frac{1}{3}\cdot \frac{8\cdot 3^2}{8}\cdot 3\cdot 3-\cdot 134\cdot 3\cdot 2 -\frac{1}{2}\cdot (134+154)\cdot 3\cdot 2\right)=-\frac{2127}{EJ}\\ \end{aligned}

Sprawdzenie lokalne:
Warunek:
\begin{aligned} &\delta_{ss}=\int \frac{M_{s}\cdot M_{s}}{EJ} dx=\delta_{11} +2\cdot \delta_{12} +\delta_{22} \\ \end{aligned} gdzie: \begin{aligned} &M_{s}=M_{1}+M_{2}\\ \end{aligned} oraz:
\begin{aligned} &\Delta_{sp}=\int \frac{M_{s}\cdot M_{p}}{EJ} dx=\Delta_{1p}+\Delta_{2p} \\ \end{aligned} Suma wykresów:

Całkowanie:

\begin{aligned} &\delta_{ss}=\int \frac{M_{s}\cdot M_{s}}{EJ} dx=\frac{1}{EJ} \end{aligned}

\begin{aligned} &=\frac{1}{EJ}\left( \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3+\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3+\frac{1}{6} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 9+\frac{1}{6} \cdot 9 \cdot 3 \cdot 3+\frac{1}{3} \cdot 9 \cdot 3 \cdot 9+9 \cdot 4 \cdot 9 \right)=\frac{450}{EJ}\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &\delta_{ss}=\delta_{11} +2\cdot \delta_{12} +\delta_{22} \\ \end{aligned} Warunek spełniony

\begin{aligned} &\Delta_{sp}=\int \frac{M_{s}\cdot M_{p}}{EJ} dx=\frac{1}{EJ} \end{aligned}

\begin{aligned} &=\frac{1}{EJ}\bigg( -\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 3\cdot 3 +\frac{1}{3}\cdot \frac{8\cdot 3^2}{8}\cdot 3\cdot 3 -\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 3\cdot 3-\\ &-\frac{1}{3}\cdot 144\cdot 9\cdot 3-\frac{1}{6}\cdot 36\cdot 9\cdot 3- \frac{1}{6}\cdot 144\cdot 3\cdot 3+\frac{1}{3}\cdot \frac{8\cdot 3^2}{8}\cdot (3+9)\cdot 3-\\ &-9\cdot 134\cdot 2-9\cdot 2\cdot (134+154) \frac{1}{2}\bigg)=\frac{-6759}{EI}\\ \end{aligned} \begin{aligned} &&\Delta_{sp}=\Delta_{1p}+\Delta_{2p} \\ \end{aligned} Warunek spełniony

5. Układ równań kanonicznych:

\begin{aligned} &\delta_{11}\cdot X_{1}+\delta_{12}\cdot X_{2}+\Delta_{1p}=0\\ &\delta_{21}\cdot X_{1}+\delta_{22}\cdot X_{2}+\Delta_{1p}=0\\ \end{aligned} \begin{aligned} &216\cdot X_{1} +94,5\cdot X_{2}=4632\\ &94,5\cdot X_{1} +45\cdot X_{2}=2127\\ \\ &X_{1}=9,419 \ kN\\ &X_{2}=27,487 \ kN \\ \end{aligned} Rozpisanie momentów ostatecznych [kNm] w punktach charakterystycznych:
\begin{aligned} &M_{ost}=M_{p}+M_{1} \cdot X_{1}+M_{2} \cdot X_{2}\\ &M_{A}=0\\ &M_{B}=-36+3\cdot 9,419+0=-7,743\\ &M_{DB}=-144+6\cdot 9,419+3\cdot 27,487=-5,025\\ &M_{C}=10\\ &M_{DC}=10\\ &M_{DE}=-134+6\cdot 9,419+3\cdot 27,487=4,975\\ &M_{E}=-M_{DE}\\ &M_{F}=-154+6\cdot 9,419+3\cdot 27,487=-15,025\\ \end{aligned}

(nie wiemy jeszcze czy będą ekstrema na wykresie momentów pod obciążeniem ciągłym)

6. Sprawdzenie kinematyczne:

\begin{aligned} &\Delta_{1}=\int \frac{M_{ost}\cdot M_{1}}{EJ} dx=\frac{1}{EJ} \end{aligned}

=

\begin{aligned} &=\frac{1}{EJ}\bigg( -\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 7,743\cdot 3 +\frac{1}{3}\frac{8\cdot 3^2}{8}\cdot 3\cdot 3 -\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 7,743\cdot 3 -\frac{1}{6}\cdot 3\cdot 5,025\cdot 3 -\\ &-\frac{1}{6}\cdot 7,743\cdot 6\cdot 3 -\frac{1}{3}\cdot 5,025\cdot 6\cdot 3+\frac{1}{3}\frac{8\cdot 3^2}{8}\cdot 3\cdot 3+\frac{1}{3}\frac{8\cdot 3^2}{8}\cdot 6\cdot 3 +6\cdot 2\cdot 4,975+\frac{1}{2}\cdot 4,975\cdot 2\cdot 6-\frac{1}{2}\cdot 15,025\cdot 2\cdot 6\bigg)=-0,025\sim =0\\ \end{aligned}

\begin{aligned} &\Delta_{2}=\int \frac{M_{ost}\cdot M_{2}}{EJ} dx=\frac{1}{EJ} \end{aligned}

=

\begin{aligned} &=\frac{1}{EJ}\left( -\frac{1}{6}\cdot 7,743\cdot 3\cdot 3 -\frac{1}{3}\cdot 5,025\cdot 3\cdot 3+\frac{1}{3}\frac{8\cdot 3^2}{8}\cdot 3\cdot 3+4,975\cdot 3\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot (4,975-15,025)\cdot 3\cdot 2\right)=0,01\sim =0\\ \end{aligned}

7. Obliczenie sił tnących:

(dla wykresu sił tnących i normalnych w tym przykładzie zamieszczono tylko cząstkowe obliczenia w trudniejszych momentach)
Obliczamy siły tnące z równowagi wyciętych elementów (znając momenty ostateczne)

Element AB:

\begin{aligned} &\sum{M_{A}}=0\\ \end{aligned} \begin{aligned} &{Q_{BA}}\cdot 3+8\cdot 3\cdot \frac{3}{2}+7,743=0\\ &{Q_{BA}}=-14,581\\ \end{aligned} \begin{aligned} &\sum{M_{B}}=0\\ \end{aligned} \begin{aligned} &{Q_{AB}}\cdot 3-8\cdot 3\cdot \frac{3}{2}+7,743=0\\ &{Q_{AB}}=9,419\\ \end{aligned}

Element BD:

\begin{aligned} &\sum{M_{B}}=0\\ \end{aligned} \begin{aligned} &{Q_{DB}}\cdot 3-7,743+5,025+8\cdot 3\cdot \frac{3}{2}=0\\ &{Q_{DB}}=-11,094\\ \end{aligned} \begin{aligned} &\sum{M_{D}}=0\\ \end{aligned} \begin{aligned} &{Q_{BD}}\cdot 3-7,743+5,025-8\cdot 3\cdot \frac{3}{2}=0\\ &{Q_{BD}}=12,906\\ \end{aligned}

Ostateczny wykres sił tnących

Ekstrema na wykresie momentów:
\begin{aligned} &\frac{9,419}{x_{1}}=\frac{14,581}{3-x_{1}}\\ &x_{1}=1,1774 \ m\\ &M_{ex_{1}}=0+\frac{1}{2}\cdot 9,419\cdot x_1=5,545 \ kNm\\ \\ &\frac{12,906}{x_{2}}=\frac{11,094}{3-x_{2}}\\ &x_{2}=1,61325 \ m\\ &M_{ex_{2}}=-7,743+\frac{1}{2}\cdot 12,906\cdot x_2=2,667 \ kNm\\ \end{aligned} Ekstremum można policzyć jako moment początkowy
(element AB->0 , element BD-> (-7,743))
plus pole trójkąta na wykresie Qost od lewej strony na elemencie.

8. Ostateczny wykres sił normalnych

Metoda sił

Mechanika budowli - Metoda sił - Przykład 5

Przykład 5