Odstęp

Parametry dla temperatury:
\begin{aligned} & \Delta T_{A 1}=14^{\circ} \mathrm{C} \quad \Delta T_{O A 1}=49^{\circ} \mathrm{C} \\ & \Delta T_{1 B}=0^{\circ} \mathrm{C} \quad \Delta T_{\text {OAB }}=42^{\circ} \mathrm{C} \\ & \Delta T_{1 P}=14^{\circ} \mathrm{C} \quad \Delta T_{O A P}=49^{\circ} \mathrm{C} \\ & \Delta T_{P C}=14^{\circ} \mathrm{C} \quad \Delta T_{D P C}=49^{\circ} \mathrm{C} \end{aligned}

Odstęp

Przekrój ramy

b=109mm, h=178mm,
t=4mm, g=11mm

Liczymy stopień statycznej niewyznaczalności SSN i dobieramy układ podstawowy metody sił UPMS.

SSN=6-3-1=2

UPMS

Rysujemy wykresy jednostkowe

Stan X1=1

Przy obciążeniu temperaturą - w stanach jednostkowych metody sił oprócz wykresu momentów potrzebujemy również wykres sił normalnych

Stan X2=1

Obliczamy współczynniki i wyrazy wolne równania kanonicznego metody sił

Więcej informacji na temat całkowania znajdziesz w naszym Wstępie teoretycznym z tego tematu
Współczynniki równania kanonicznego

\begin{aligned} \delta_{11}= & \frac{1}{E I}\left(\frac{3 \sqrt{2}}{6}(3 \cdot 3+4 \cdot 1,5 \cdot 1,5) \times 2+\right. \\ & \left.+\frac{3}{6}(3 \cdot 3+4 \cdot 3 \cdot 3+3 \cdot 3)\right)=\frac{52,456}{E I} \\ \delta_{22}= & \frac{1}{E I}\left(\frac{3}{6}(5 \cdot 5+4 \cdot 5 \cdot 5+5 \cdot 5)+\frac{5}{6}(5 \cdot 5+4 \cdot 2,5 \cdot 2,5)+\right. \\ & \left.+\frac{3 \sqrt{2}}{6}(4 \cdot 1,5 \cdot 1,5+3 \cdot 3)\right)=\frac{129,3946}{E I} \\ \delta_{12}= & \frac{1}{E I}\left(-\frac{3}{6}(3 \cdot 5+4 \cdot 3 \cdot 5+3 \cdot 5)+\frac{3 \sqrt{2}}{6}(4 \cdot 1,5 \cdot 1,5+3 \cdot 3)\right)= \\ & =-\frac{32,272}{E I} \end{aligned}

Obciążenie geometryczne i termiczne

\( \delta_{\mathrm{ig}}=-\Sigma\left(\mathrm{R}_{\mathrm{i}} \cdot \Delta_{\mathrm{i}}\right) \)
gdzie:
\(\Delta \mathrm{i}\) - wartość wymuszonego przemieszczenia ( m , rad)
Ri - reakcja w stanie jednostkowym w miejscu wymuszonego przemieszczenia

\( \delta_{\text {it }}=\sum \frac{\alpha \cdot \Delta \mathrm{T}}{\mathrm{h}} \cdot \int \overline{\mathrm{M}_{\mathrm{i}}} \mathrm{dx} \\ \) gdzie:
\( \int \overline{M_i} dx\) - pole na wykresie momentów w stanie jednostkowym "i" na pręcie obciążonym temperaturą (plus, jeżeli wykres jest po stronie włókien cieplejszych),
\( \alpha \) - współczynnik rozszerzalności termicznej,
h - wysokość przekroju.
\begin{aligned} & \delta_{1 g}=-(1 \cdot 0,002-0,002 \cdot 3)=0,004 \mathrm{~m} \\ & \delta_{2 g}=-(-0,002 \cdot 3)=0,006 \mathrm{~m} \end{aligned} \begin{aligned} \delta_{1 t} & =\frac{1,2 \cdot 10^{-5} \cdot 14}{0,178}\left(\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{2}-\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{2}\right)+ \\ & +1,2 \cdot 10^{-5} \cdot 49\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 \sqrt{2} * 2+1 \cdot 5\right)=6,468 \cdot 10^{-3} \\ \delta_{2 t} & =\frac{1,2 \cdot 10^{-5} \cdot 14}{0,178} \cdot\left(\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5-\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{2}\right)+ \\ & +1,2 \cdot 10^{-5}\left(42 \cdot(-1 \cdot 3)+49 \cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 3 \sqrt{2}\right)\right)=2,515 \cdot 10^{-3} \end{aligned}

Rozwiązujemy układ równań kanonicznych

\begin{aligned} & \delta_{11} \cdot x_1 + \delta_{12} \cdot x_2 + \delta_{1g} + \delta_{1t} = 0 \\ & \delta_{21} \cdot x_1 + \delta_{22} \cdot x_2 + \delta_{2g} + \delta_{2t} = 0 \end{aligned} \begin{array}{l} \frac{52,456}{E I} \cdot x_1-\frac{32,272}{E I} \cdot x_2+\overbrace{0,004+0,006468}^{0,010468}=0 \\ \frac{-32,272}{E I} \cdot x_1+\frac{129,3946}{E I} \cdot x_2+\underbrace{0,006+0,002515}_{0,008515}=0 \end{array}

W kolejnym kroku podstawimy, a w zasadzie przemnożymy obie strony obydwóch równań przez EI.
Żeby to zrobić musimy obliczyć moment bezwładności przekroju:

\begin{aligned} & J_y=2 \cdot\left(\frac{0,109 \cdot 0,011^3}{12}+\right. \\ & \left.+(0,011 \cdot 0,109) 0,0835^2\right)+ \\ & +\frac{0,004 \cdot 0,156^3}{12} \\ & J_y=1,801 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^4 \end{aligned}

\( E J=210 \cdot 10^6 \cdot 1,801 \cdot 10^{-5}=3782,1 \ \mathrm{kNm}^2 \)

Przemnażamy przez EI i rozwiązujemy układ równań:

\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} 52,456 \cdot x_1-32,272 \cdot x_2+39,591=0 \\ -32,272 x_1+129,3946 \cdot x_2+32,246=0 \end{array}\right. \\ & \left\{\begin{array}{l} x_1=-1,073 \mathrm{kN} \\ x_2=-0,517 \mathrm{kN} \end{array}\right. \\ & M_{\text {ost }}=M_1 \cdot x_1+M_2 \cdot x_2 \end{aligned}

Wykres Most [kNm]

Narysujemy przemnożone wykresy \( M_1\cdot x_1 \) oraz \(M_2 \cdot x_2 \)

Wykres ostateczny momentów

Obliczenia do wykresu sił tnących

Na wykresie momentów zaznaczamy siły tnące, które obliczymy ze wzoru: \( Q=\frac{\Delta M}{L} \),
gdzie:
Q - wartość siły tnącej,
\( \Delta M \) - zmiana na wykresie momentów,
L - długość elementu.
Jeśli para sił tnących jest prawoskrętna, to siła tnąca jest dodatnia.

Odstęp

\begin{aligned} & Q_{A 1}=\frac{3,219}{3 \sqrt{2}}=0,759 \ kN\\ & Q_{1 P}=-\frac{2,585}{5}=-0,517 \ kN\\ & Q_{P C}=\frac{-4,77}{3 \sqrt{2}}=-1,124 \ kN \end{aligned}

Wykres sił tnących [kN]

Obliczenia do wykresu sił normalnych

Równowaga węzłów:

węzeł 1

\begin{aligned} & \text { 3) } \Sigma x=0 \\ & -N_4 \frac{\sqrt{2}}{2}+0,759 \frac{\sqrt{2}}{2}+N_2=0 \\ & N_4=-0,758 \ kN \\ & \text { 4) } \Sigma y=0 \\ & -N_3+0,517+ \\ & +N_4 \frac{\sqrt{2}}{2}+0,759 \frac{\sqrt{2}}{2}=0 \\ & N_3=0,518 \ kN \end{aligned}

Odstęp

węzeł P

\begin{aligned} - & \text { 1) } \Sigma y=0 \\ & -0,517+N_1 \frac{\sqrt{2}}{2}+1,124 \frac{\sqrt{2}}{2}=0 \\ & N_1=-0,393 \ kN \\ \\ & \text { 2) } \Sigma y=0 \\ & -N_2+N_1 \frac{\sqrt{2}}{2}-1,124 \frac{\sqrt{2}}{2}=0 \\ & N_2=-1,073 \ kN \end{aligned}

Ostateczny wykres sił normalnych [kN]

Sprawdzenie statyczne (globalne)

Odczytujemy reakcje podporowe z wykresów ostatecznych, zaznaczamy je z odpowiednimi zwrotami.
Zapisujemy równania równowagi statycznej dla całej ramy:

Odstęp

Aby obliczyć reakcję w podporze A wycinamy węzeł A:

\begin{aligned} & \Sigma x=0 \\ & H_A-0,758 \frac{\sqrt{2}}{2}-0,759 \frac{\sqrt{2}}{2}=0 \\ & H_A=1,073 \ kN \end{aligned}

Równania równowagi:
\begin{array}{ll} \Sigma \mathrm{x}=0 & 1.073-1.124 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-0.393 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=0.0003 \approx 0\\ \Sigma \mathrm{y}=0 & -0.518+1.124 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-0.393 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-0.001 \approx 0 \\ \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{P}}=0 & 1.073 \cdot 3-1.124 \cdot 3 \sqrt{2}+4.77-0.634-0.518 \cdot 5=-0.004 \approx 0 \end{array}

Metoda sił

Mechanika budowli - Metoda sił - Przykład 9

Przykład 9