Stan początkowy - obliczenie sił we wszystkich prętach

Pierwszy krok to obliczenie sił w prętach od obciążenia początkowego, mamy tą kratownicę rozwiązaną metodą równoważenia węzłów,
także zapraszamy do zapoznania się rozwiązania tej kratownicy.

Zestawienie sił w prętach Np [kN]

\[ \begin{aligned} &N_1 = 20 \text{ kN} && N_6 = 20 \text{ kN} && N_{11} = 0 \text{ kN} && N_{16} = 0 \text{ kN}\\ &N_2 = 60 \text{ kN} && N_7 = -28.284 \text{ kN} && N_{12} = -21.213 \text{ kN} && N_{17} = -20 \text{ kN}\\ &N_3 = 60 \text{ kN} && N_8 = 40 \text{ kN} && N_{13} = 15 \text{ kN} && N_{18} = -60 \text{ kN}\\ &N_4 = 60 \text{ kN} && N_9 = -56.569 \text{ kN} && N_{14} = -63.64 \text{ kN} && N_{19} = -45 \text{ kN}\\ &N_5 = 45 \text{ kN} && N_{10} = 0 \text{ kN} && N_{15} = 0 \text{ kN} && N_{20} = 0 \text{ kN}\\ \end{aligned} \]

Zestawienie wyników w tabeli

Dobrze sobie zestawić od razu w formie tabeli takie dane jak:
- liczbę porządkową pręta,
- długość pręta,
- sztywność pręta na rozciąganie EA,
- siłę w pręcie w stanie początkowym "P", czyli \( N_P \)

L.p.	l [m]	EA	\( N_P \) [kN]
1	3	1	20
2	3	1	60
3	3	1	60
4	3	1	60
5	3	1	45
6	3	1	20
7	4.243	1.414	-28.284
8	3	1	40
9	4.243	1.414	-56.569
10	3	1	0
11	3	1	0
12	4.243	1.414	-21.213
13	3	1	15
14	4.243	1.414	-63.640
15	3	1	0
16	3	1	0
17	3	1	-20
18	3	1	-60
19	3	1	-45
20	3	1	0

Następnie zrobimy stany jednostkowe w celu obliczenia przemieszczeń i dopiszemy kolejne kolumny tabeli

Stan jednostkowy - przemieszczenie poziome węzła V

Aby obliczyć poziome przemieszczenie węzła V przykładamy jednostkową siłę o kierunku poziomym ze zwrotem dowolnym.
Musimy obliczyć siły we wszystkich prętach dla tego przypadku obciążenia.

Liczymy reakcje i przechodzimy do metody równoważenia węzłów

Przecinamy kratownicę przez pręty 3 i 18 i liczymy reakcje osobno dla lewej i dla prawej strony (reakcję poziomą liczymy zanim przetniemy)

\[ \Sigma \mathrm{x}=0 \quad \mathrm{H}_{\mathrm{IX}}=1 \\ \]

prawa strona:

\begin{array}{ll} \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{XI}}=0 & 1 \cdot 3-\mathrm{N}_3 \cdot 3=0 \quad \mathrm{~N}_3=1 \\ \Sigma \mathrm{x}=0 & \mathrm{~N}_{18}=-\mathrm{N}_3+1=0 \\ \Sigma \mathrm{y}=0 & \mathrm{v}_{\mathrm{XI}}=0 \end{array}

lewa strona:

\begin{array}{lcl} \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{IX}}=0 & \mathrm{~N}_3 \cdot 3+\mathrm{V}_{\mathrm{VII}} \cdot 6=0 & \mathrm{~V}_{\mathrm{VII}}=\frac{\mathrm{N}_3 \cdot 3}{-6}=-0.5 \\ \Sigma \mathrm{y}=0 & \mathrm{~V}_{\mathrm{VII}}+\mathrm{V}_{\mathrm{IX}}=0 & \mathrm{~V}_{\mathrm{IX}}=-\mathrm{V}_{\mathrm{VII}}=0.5 \end{array}

Metoda równoważenia węzłów

Z twierdzeń o prętach zerowych, pręty numer 16 / 10 / 11 / 15,20 / 5,14 / 19,13 / 12 są zerowe

Węzeł VII

\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{y}=0 \\ & \mathrm{~N}_6=-\mathrm{V}_{\mathrm{VII}}=0.5 \\ & \Sigma \mathrm{x}=0 \\ & \mathrm{~N}_{16}=0 \end{aligned}

Węzeł I

\begin{array}{cc} \Sigma \mathrm{y}=0 & -\mathrm{N}_6-\mathrm{N}_7 \cdot \sin \alpha=0 \\ & \mathrm{~N}_7=\frac{-\mathrm{N}_6}{\sin \alpha}=-0.707 \\ \Sigma \mathrm{x}=0 & \mathrm{~N}_1+\mathrm{N}_7 \cdot \cos \alpha=0 \\ & \mathrm{~N}_1=-\mathrm{N}_7 \cdot \cos \alpha=0.5 \end{array}

Węzeł VIII

\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{y}=0 \\ & \mathrm{~N}_8+\mathrm{N}_7 \cdot \sin \alpha=0 \\ & \mathrm{~N}_8=-\mathrm{N}_7 \cdot \sin \alpha=0.5 \\ & \Sigma \mathrm{x}=0 \\ & -\mathrm{N}_{16}-\mathrm{N}_7 \cdot \cos \alpha+\mathrm{N}_{17}=0 \\ & \mathrm{~N}_{17}=\mathrm{N}_{16}+\mathrm{N}_7 \cdot \cos \alpha=-0.5 \end{aligned}

Węzeł II

\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{y}=0 \\ & -\mathrm{N}_8-\mathrm{N}_9 \cdot \sin \alpha=0 \\ & \mathrm{~N}_9=\frac{-\mathrm{N}_8}{\sin \alpha}=-0.707 \\ & \Sigma \mathrm{x}=0 \\ & -\mathrm{N}_1+\mathrm{N}_2+\mathrm{N}_9 \cdot \cos \alpha=0 \\ & \mathrm{~N}_2=\mathrm{N}_1-\mathrm{N}_9 \cdot \cos \alpha=1 \end{aligned}

Dopisujemy do tabeli kolumnę z zestawieniem sił w prętach w stanie jednostkowym, podpiszemy kolumnę \( N_1 \):
Możemy po dopisaniu tej kolumny już policzyć pierwsze szukane przemieszczenie.
\( {\Delta_\rightarrow}_V=\sum \frac{N_p \cdot N_1 \cdot l}{EA} \)
Przemieszczenie to przecałkowany wykres ze stanu P z wykresem ze stanu jednostkowego, podzielony przez sztywność na rozciąganie EA.
Oczywiście musimy to zrobić dla każdego pręta, dlatego mamy znak sumy.
Dla kratownicy wykresy na prętach to wartości stałe, dlatego całkowanie dwóch wykresów prostokątnych sprowadza się do przenoszenia wartości na wykresie w jednym stanie z wartością na wykresie w drugim stanie razy długość pręta. Wynik mnożenia dzielimy przez sztywność na rozciąganie danego pręta, tutaj albo \( EA \cdot \sqrt{2} \) dla prętów skośnych, albo \( EA \) dla pozostałych prętów
I tak musimy przemnożyć dla każdego pręta podane wartości, a na końcu w kolumnie je zsumować, i wynik tej sumy jest to szukane przemieszczenie.
Wygodnie przeprowadza się te obliczenia w excelu.
Pobierz plik Excel dla tego przykładu

L.p.	l [m]	EA	\( N_P \) [kN]	\( N_1 \) [-]	\( \frac{N_1\cdot N_P \cdot l}{EA} \)
1	3	1	20	0.5	30
2	3	1	60	1	180
3	3	1	60	1	180
4	3	1	60	1	180
5	3	1	45	0	0
6	3	1	20	0.5	30
7	4.243	1.414	-28.284	-0.707	59.99
8	3	1	40	0.5	60
9	4.243	1.414	-56.569	-0.707	119.98
10	3	1	0	0	0
11	3	1	0	0	0
12	4.243	1.414	-21.213	0	0
13	3	1	15	0	0
14	4.243	1.414	-63.64	0	0
15	3	1	0	0	0
16	3	1	0	0	0
17	3	1	-20	-0.5	30
18	3	1	-60	0	0
19	3	1	-45	0	0
20	3	1	0	0	0
Σ					869.973

Pierwszy wynik:
\( {\Delta_\rightarrow}_V=\sum \frac{N_p \cdot N_1 \cdot l}{EA}= \frac{869,973}{EA} \)

Drugi stan jednostkowy - zmiana odległości między węzłami II i VII

Aby obliczyć to przemieszczenie - przykładamy parę sił jednostkowych na kierunku szukanego przemieszczenia.
Charakterystyczne dla takiego stanu obciążenia jest to, że reakcje zawsze wychodzą zerowe , a siły w prętach będą tylko wokół przyłożonej pary sił, czyli w prętach 1, 6, 7, 8, 16.
Reszta prętów będzie zerowa.

Liczymy reakcje i przechodzimy do metody równoważenia węzłów

Przecinamy kratownicę przez pręty 3 i 18 i liczymy reakcje osobno dla lewej i dla prawej strony (reakcję poziomą liczymy zanim przetniemy)

\[ \Sigma \mathrm{x}=0 \quad \mathrm{H}_{\mathrm{IX}}=0 \\ \]

prawa strona:

\begin{array}{ll} \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{XI}}=0 & \mathrm{~N}_3=0 \\ \Sigma \mathrm{x}=0 & \mathrm{~N}_{18}=-\mathrm{N}_3=0 \\ \Sigma \mathrm{y}=0 & \mathrm{~V}_{\mathrm{XI}}=0 \end{array}

lewa strona:

\begin{array}{lc} \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{IX}}=0 & \mathrm{~V}_{\mathrm{VII}}=0 \\ \Sigma \mathrm{y}=0 & \mathrm{~V}_{\mathrm{IX}}=0 \end{array}

Metoda równoważenia węzłów

Z twierdzeń o prętach zerowych, wszystkie pręty oprócz 1,6,7,8,16 są zerowe.

Węzeł VII

\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{y}=0 \\ & \mathrm{~N}_6+1 \sin \alpha=0 \\ & \mathrm{~N}_6=-\sin \alpha=-0.707 \\ & \Sigma \mathrm{x}=0 \\ & \mathrm{~N}_{16}+1 \cdot \cos \alpha=0 \\ & \mathrm{~N}_{16}=-\cos \alpha=-0.707 \end{aligned}

Węzeł I

\begin{array}{cc} \Sigma \mathrm{y}=0 & -\mathrm{N}_6-\mathrm{N}_7 \cdot \sin \alpha=0 \\ & \mathrm{~N}_7=\frac{-\mathrm{N}_6}{\sin \alpha}=1 \\ \Sigma \mathrm{x}=0 & \mathrm{~N}_1+\mathrm{N}_7 \cdot \cos \alpha=0 \\ & \mathrm{~N}_1=-\mathrm{N}_7 \cdot \cos \alpha=-0.707 \end{array}

Węzeł VIII

\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{y}=0 \\ & \mathrm{~N}_8+\mathrm{N}_7 \cdot \sin \alpha=0 \\ & \mathrm{~N}_8=-\mathrm{N}_7 \cdot \sin \alpha=-0.707 \\ & \Sigma \mathrm{x}=0 \quad(\mathrm{spr}) \\ & -\mathrm{N}_{16}-\mathrm{N}_7 \cdot \cos \alpha+\mathrm{N}_{17}=0 \\ & \mathrm{~N}_{17}=\mathrm{N}_{16}+\mathrm{N}_7 \cdot \cos \alpha=0 \end{aligned}

Dopisujemy do tabeli kolumnę z zestawieniem sił w prętach w drugim stanie jednostkowym, podpiszemy kolumnę \( N_2 \):
Możemy po dopisaniu tej kolumny policzyć drugie szukane przemieszczenie.
\( \Delta_{II-VII}=\sum \frac{N_p \cdot N_2 \cdot l}{EA} \)

L.p.	l [m]	EA	\( N_P \) [kN]	\( N_2 \) [-]	\( \frac{N_2 \cdot N_P \cdot l}{EA} \)
1	3	1	20	-0.707	-42.42
2	3	1	60	1	0
3	3	1	60	1	0
4	3	1	60	1	0
5	3	1	45	0	0
6	3	1	20	-0.707	-42.42
7	4.243	1.414	-28.284	1	-84.852
8	3	1	40	-0.707	-84.84
9	4.243	1.414	-56.569	0	0
10	3	1	0	0	0
11	3	1	0	0	0
12	4.243	1.414	-21.213	0	0
13	3	1	15	0	0
14	4.243	1.414	-63.64	0	0
15	3	1	0	0	0
16	3	1	0	0	0
17	3	1	-20	-0.707	0
18	3	1	-60	0	0
19	3	1	-45	0	0
20	3	1	0	0	0
Σ					-254.532

Drugi wynik:
\( \Delta_{II-VII} =\sum \frac{N_p \cdot N_1 \cdot l}{EA}= \frac{-254.532}{EA} \)

Ujemne przemieszczenie oznacza, że węzły nie przemieszczą się w tym kierunku w którym założyliśmy siły jednostkowe (czyli nie zbliżą się do siebie), tylko się od siebie oddalą.
Koniec zadania.

Przemieszczenia metodą Maxwella-Mohra

Mechanika budowli - Przemieszczenia metodą Maxwella-Mohra - Przykład 3

Przykład 3