Całkowita objętość stożka:

\begin{aligned} &V=\frac{1}{3} P_p \cdot H=\frac{1}{3} \pi r^2 \cdot H\\ &V=\frac{1}{3} \pi \cdot(2 R)^2 4 R \rightarrow \frac{16 \cdot R^3 \cdot \pi}{3} \end{aligned}

Ponieważ wiemy, że wypływnie 1/4 pierwotnej objętości obliczamy na jakiej wysokości znajdzie się wówczas powierzchnia cieczy:

\begin{aligned} \frac{1}{4} V=\frac{1}{3} \pi \cdot r^2(H-z) \end{aligned}

Zależność (H-z) i r możemy łatwo zapisać z podobieństwa trójkątów:

\begin{aligned} \frac{H-z}{r}=\frac{4 R}{2 R} \Rightarrow \quad r=\frac{-z+H}{2}=\frac{1}{2}(H-z) \Rightarrow\quad z=-2 \cdot r+H \end{aligned}

Wracając do równania na 1/4 objętości całkowitej i podstawiając V oraz z:

\begin{aligned} & \frac{1}{4} \frac{16 \cdot R^3 \cdot \pi}{3}=\frac{1}{3} \pi \cdot r^2(H-(-2 \cdot r+H)) \\ & \frac{4 \cdot R^3 \cdot \pi}{3}=\frac{2 \cdot r^3 \cdot \pi}{3} \\ & 2 \cdot R^3=r^3 \\ & r=\sqrt[3]{2} \end{aligned}

Stąd otrzymujemy wysokość na której znajduje się końcowa powierzchnia cieczy:

\begin{aligned} & z=-2 \cdot r+H \\ & h=-2 \cdot \sqrt[3]{2} R+H \end{aligned}

Obliczmy na liczbach:

\begin{aligned} R & =0.5 m \\ H & =4 R=2 m \\ h & =-2 \cdot \sqrt[3]{2} R+H=0.74 m \end{aligned}

Czas wypływu zgodnie z równaniem:

\begin{aligned} & T=\frac{1}{S_0 \cdot \sqrt{2 g}} \int_h^H \frac{S(z)}{\sqrt{z}} \mathrm{~d} z \\ & T=\frac{1}{\pi \cdot \frac{d^2}{4} \cdot \sqrt{2 g}} \int_h^{H}\frac{\pi \cdot r(z)^2}{\sqrt{z}} \mathrm{~d} z \\ & T=\frac{1}{\pi \cdot \frac{d^2}{4} \cdot \sqrt{2 g}} \int_h^H \frac{\pi \cdot\left(\frac{1}{2}(H-z)\right)^2}{\sqrt{z}} \mathrm{~d} z=\frac{1}{d^2 \cdot \sqrt{2 g}} \int_h^H \frac{(-z+H)^2}{\sqrt{z}} \mathrm{~d} z \end{aligned}

Wyłączmy i obliczmy całkę:

\begin{aligned} & I=\int_h^H \frac{(-z+H)^2}{\sqrt{z}} \mathrm{~d} z=\int_h^H z^{\frac{3}{2}}-2 \cdot H \cdot \sqrt{z}+\frac{H^2}{\sqrt{z}} \mathrm{~d} z=\left(\frac{2 \cdot z^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{4 \cdot H \cdot z^{\frac{3}{2}}}{3}+2 \cdot H^2 \cdot \sqrt{z}\right)_h^H \\ & I=\frac{2 \cdot H^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{4 \cdot H \cdot H^{\frac{3}{2}}}{3}+2 \cdot H^2 \cdot \sqrt{H}-\left(\frac{2 \cdot h^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{4 \cdot H \cdot h^{\frac{3}{2}}}{3}+2 \cdot H^2 \cdot \sqrt{h}\right)=0.661 \mathrm{~m}^{\frac{5}{2}} \end{aligned}

I ostatecznie:

\begin{aligned} & d=5 \mathrm{~mm}=0.005 \mathrm{~m} \\ & g=9.81 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \\ & T=\frac{1}{d^2 \cdot \sqrt{2 g}} I=5969.794 \mathrm{~s} \end{aligned}

Hydrodynamika

Mechanika płynów - Hydrodynamika - Przykład 4

Przykład 4