Pomijamy masę sprężyny, sprężyna jest nieodkształcalna dla \( \varphi = 30^O\)

\begin{aligned} &x_s=\frac{3}{2}l\ sin\varphi\\ &y_s=\frac{l}{2}cos\varphi\\ &\dot{x_s}=\frac{3}{2}l\ cos\varphi\ \dot{\varphi}\\ &\dot{y_s}=-\frac{l}{2}sin\varphi\ \dot{\varphi}\\ &v_s^2=v_{sk}^2+v_{s_y}^2=\frac{9}{4}l^2\cos^2{\varphi\ }{\dot{\varphi}}^2+\frac{l^2}{4}{\dot{\varphi}}^2\sin^2{\varphi}=2l^2\cos^2{\varphi}\cdot{\dot{\varphi}}^2+\frac{l^2}{4}{\dot{\varphi}}^2\ \\ \end{aligned} \begin{aligned} &E_{k_1}=\frac{1}{2}\frac{ml^2}{3}{\dot{\varphi}}^2\\ &E_{k_2}=\frac{1}{2}m\ v\ s^2+\frac{1}{2}\left(\frac{ml^2}{l^2}\right){\dot{\varphi}}^2\\ &E_{k_2}=ml^2\cos^2{\varphi\ {\dot{\varphi}}^2+\frac{1}{2}\left(\frac{ml^2}{3}\right){\dot{\varphi}}^2}\\ &E_{kI}=\frac{3}{4}Mv_B^2=3Ml^2\cos^2{\varphi{\dot{\varphi}}^2}\\ &E_k=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}Ml^2\right){\dot{\varphi}}^2+\left(m+3M\right)l^2\cos^2{\varphi\cdot{\dot{\varphi}}^2}\\ &E_p=mg\frac{l}{2}cos\varphi+mg\frac{l}{2}cos\varphi+\frac{1}{2}k\omega^2\\ &E_p=mgl\ cos\varphi+\frac{1}{2}kl^2\left(sin\varphi-\frac{1}{2}\right)^2\\ \end{aligned}

Korzystając z zasady prac wirtualnych:

\begin{aligned} &{\bar{v}}_A=\left(lsin\varphi,\ lcos\varphi\right)\\ &\delta{\bar{v}}_A=(lcos\varphi\ \delta\varphi,\ -sin\varphi\ \delta\varphi)\\ &\bar{F}=\left(F\left(t\right)sin\varphi,\ -F\left(t\right)cos\varphi\right)\\ &\delta L\left(\bar{F}\right)=2F\left(t\right)lsin\varphi\ cos\varphi\ \delta\varphi\\ &Q\varphi^{(N)}=F\left(t\right)lsin2\varphi \end{aligned} \begin{aligned} &\frac{d}{dt}\left(\frac{\delta E_k}{\delta\dot{\varphi}}\right)-\frac{\delta E_k}{\delta\varphi}+\frac{dE_p}{d\varphi}=Q\varphi^{(N)}\\ &\frac{d}{d\varphi}\left(\sin^2{\varphi}\right)=sin2\varphi\\ &\frac{\delta E_k}{\delta\dot{\varphi}}=\frac{2}{3}ml^2\dot{\varphi}+2\left(m+3M\right)l^2\cos^2{\varphi}\cdot\dot{\varphi}\\ &\frac{d}{dt}\left(\frac{\delta E_k}{\delta\dot{\varphi}}\right)=\frac{2}{3}ml^2\ddot{\varphi}+2\left(m+3M\right)l^2(-sin2\varphi\cdot{\dot{\varphi}}^2+\cos^2{\varphi}\cdot\ddot{\varphi})\\ &\frac{dE_k}{\delta\varphi}=-\left(m+3M\right)l^2sin2\varphi\cdot{\dot{\varphi}}^2\\ &\frac{dE_p}{d\varphi}==mgl\ sin\varphi+k^2\left(sin\varphi-\frac{1}{2}\right)cos\varphi\\ \end{aligned} \begin{aligned} &\frac{2}{3}ml^2\ddot{\varphi}+2\left(m+3M\right)l^2\cos^2{\varphi}\cdot\ddot{\varphi}-\left(m+3M\right)l^2sin2\varphi\cdot{\dot{\varphi}}^2\\ &-mgl\ sin\varphi+kl^2\left(sin\varphi-\frac{1}{2}\right)cos\varphi=F\left(t\right)l\ sin2\varphi \end{aligned}

Dynamika - Mechanika analityczna

Mechanika techniczna - Dynamika - Mechanika analityczna - Przykład 7

Przykład 7