Dla przejrzystości obliczeń wprowadzono do tego przykładu symbole, które później wykorzystano w obliczeniach. (wymiary w cm, cm^2)

Dzielimy figurę na figury prostej np. jak poniżej
figura 1 - linia pozioma
figura 2 - linia pionowa
figura 3 - prostokat \(8 \times 3\)
figura 4 - ćwiartka kola (wycięcie)
figura 5 - trójkat \(3 \times 5\)

Przyjmujemy oznaczenia [ \(\left.\mathrm{cm}, \mathrm{cm}^{\wedge} 2\right]\)
figura 1\( \quad l_{1}=5 \quad \alpha_{1}=0^{\circ}\)
figura 2 \(\quad l_{2}=5 \quad \alpha_{2}=90^{\circ} \quad\) gęstość linii \(\quad \rho=1.5\)
figura \(3 \quad \mathrm{~b}=8 \quad \mathrm{~h}=3\)
figura 4
odległość od środka ćwiartki koła do środka ciężkości x i y \( d_{1}=\frac{4 \cdot r}{3 \cdot \pi} \)
pole figury \(4 \quad \mathrm{~A}_{\mathrm{c}}=\frac{1}{4} \cdot \pi \cdot \mathrm{r}^{2}\)
figura \(5 \quad \mathrm{~b}_{2}=3 \quad \mathrm{~h}_{2}=5\)

Dzielimy układ na figury proste jak powyżej ,przyjmujemy początek układu współrzędnych w punkcie A

Obliczamy momenty bezwładności względem osi x i y przechodzących przez punkt A, następnie moment dewiacji.
Po obliczeniu powyższych obliczamy główne momenty bezwładności oraz kierunki.

\begin{aligned} &I_{X}:=\left(\frac{1_{1}^{3}}{12} \cdot \sin \left(\alpha_{1}\right)^{2}+1_{1} \cdot 5^{2}\right) \cdot \rho+\left(\frac{1_{2}^{3}}{12} \cdot \sin \left(\alpha_{2}\right)^{2}+1_{2} \cdot 2.5^{2}\right) \cdot \rho \ldots=327.728 \mathrm{~cm}^{4}\\ &+\frac{\mathrm{b} \cdot \mathrm{h}^{3}}{12}+(\mathrm{b} \cdot \mathrm{h}) \cdot\left(\frac{\mathrm{h}}{2}\right)^{2}-\left[\left(\frac{\pi \cdot \mathrm{r}^{4}}{16}-\mathrm{A}_{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{d}_{1}^{2}\right)+\mathrm{A}_{\mathrm{c}} \cdot\left(3-\mathrm{d}_{1}\right)^{2}\right] \ldots\\ &+\frac{\mathrm{b}_{2} \cdot \mathrm{h}_{2}{ }^{3}}{12}\\ &\mathrm{I}_{\mathrm{y}}:=\left(\frac{1_{1}^{3}}{12} \cdot \cos \left(\alpha_{1}\right)^{2}+1_{1} \cdot 2.5^{2}\right) \cdot \rho+\left(\frac{1_{2}^{3}}{12} \cdot \cos \left(\alpha_{2}\right)^{2}\right) \cdot \rho \ldots \quad=523.956 \mathrm{~cm}^{4}\\ &+\frac{\mathrm{h} \cdot \mathrm{b}^{3}}{12}+(\mathrm{b} \cdot \mathrm{h})\left(\frac{\mathrm{b}}{2}\right)^{2}-\left[\left(\frac{\pi \cdot \mathrm{r}^{4}}{16}-\mathrm{A}_{\mathrm{c}} \cdot \mathrm{d}_{1}^{2}\right)+\mathrm{A}_{\mathrm{c}} \cdot\left(8-\mathrm{d}_{1}\right)^{2}\right] \ldots\\ &+\frac{\mathrm{h}_{2} \cdot \mathrm{b}_{2}{ }^{3}}{36}+\left(\frac{1}{2} \cdot \mathrm{h}_{2} \cdot \mathrm{b}_{2}\right) \cdot(5+1)^{2}\\ &\mathrm{I}_{\mathrm{xy}}:=\left[\frac{1_{1}^{3}}{12} \cdot \sin \left(\alpha_{1}\right)^{2} \cdot \cos \left(\alpha_{1}\right)^{2}+1_{1} \cdot(-2.5) \cdot(5)\right] \rho \ldots \quad=-102.396 \mathrm{~cm}^{4}\\ &+\left(\frac{1_{2}^{3}}{12} \cdot \sin \left(\alpha_{2}\right)^{2} \cdot \cos \left(\alpha_{2}\right)^{2}\right) \rho+\left[0+\mathrm{b} \cdot \mathrm{h} \cdot\left(\frac{-\mathrm{b}}{2}\right) \cdot\left(\frac{-\mathrm{h}}{2}\right)\right] \ldots\\ &+-\left[\left(\frac{r^{4}}{8}-A_{c} \cdot d_{1}^{2}\right)+A_{c} \cdot-\left(3-d_{1}\right) \cdot-\left(8-d_{1}\right)\right] \ldots\\ &+\left[\frac{\mathrm{b}_{2}^{2} \cdot \mathrm{h}_{2}^{2}}{72}+\left(\frac{1}{2} \cdot \mathrm{b}_{2} \cdot \mathrm{h}_{2}\right) \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot \mathrm{h}_{2}\right) \cdot\left(5+\frac{1}{3} \cdot \mathrm{b}_{2}\right)\right] \end{aligned}

Momenty główne centralne

\begin{aligned} &\mathrm{I}_{1}=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{x}}+\mathrm{I}_{\mathrm{y}}}{2}+\sqrt{\left(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{x}}-\mathrm{I}_{\mathrm{y}}}{2}\right)^{2}+\mathrm{I}_{\mathrm{xy}}^{2}}=567.657\mathrm{~cm}^{4}\\ &\mathrm{I}_{2}=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{x}}+\mathrm{I}_{\mathrm{y}}}{2}-\sqrt{\left(\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{x}}-\mathrm{I}_{\mathrm{y}}}{2}\right)^{2}+\mathrm{I}_{\mathrm{xy}}^{2}}=284.028 \mathrm{~cm}^{4} \end{aligned}

Kąt obrotu od osi poziomej do osi głównych centralnych

\begin{array}{ll} \tan \alpha_{1}:=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{xy}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{y}}-\mathrm{I}_{1}}=2.34314 & \alpha_{1}:=\operatorname{atan}(2.34314)=66.888^{\circ} \\ \tan \alpha_{2}:=\frac{\mathrm{I}_{\mathrm{xy}}}{\mathrm{I}_{\mathrm{y}}-\mathrm{I}_{2}}=-0.42678 & \alpha_{2}:=\operatorname{atan}(-0.42678)=-23.112^{\circ} \end{array}

sprawdzenie \(\left|\alpha_{1}\right|+\left|\alpha_{2}\right|=90^{\circ}\)

Moment bezwładności względem prostej k

\(\alpha:=-45^{\circ} \quad\) kąt obrotu od osi x do prostej k
\(\mathrm{I}_{\mathrm{k}}=\mathrm{I}_{\mathrm{x}} \cdot \cos (\alpha)^{2}+\mathrm{I}_{\mathrm{y}} \cdot \sin (\alpha)^{2}-\mathrm{I}_{\mathrm{xy}} \cdot \sin (2 \alpha)=323.446 \mathrm{~cm}^{4} \)

Statyka - Charakterystyki geometryczne

Mechanika techniczna - Statyka - Charakterystyki geometryczne - Przykład 1

Przykład 1