Uwalniamy układ od więzów

\begin{array}{lll} \sum{F_x}=0 & T_A-N_B=0\\ \sum{F_y}=0 & N_A-Q+T_B=0\\ \sum{M_A}=0 & Q\cdot a\cdot\cos{\alpha}-T_B\cdot2a\cdot\cos{\alpha}-N_B\cdot2a\cdot\sin{\alpha}=0\\ T_A=N_A\cdot\mu\\ T_B=N_B\cdot\mu\\ \end{array}

Podstawiając wzory na tarcie

\begin{array}{lll} N_A\cdot\mu-N_B=0\\ N_A-Q+N_B\cdot\mu=0\\ Q\cdot\cos{\alpha}-N_B\cdot\mu\cdot2\cdot\cos{\alpha}-N_B\cdot2\cdot\sin{\alpha}=0\\ \end{array}

Jak łatwo zauważyć z dwóch pierwszych równań wyliczymy naciski w punktach A i B:

\begin{aligned} &N_B=N_A\cdot\mu\\ &N_A-Q+N_A\cdot\mu^2=0\\ &N_A\cdot\left(1+\mu^2\right)=Q\\ &N_A=\frac{Q}{1+\mu^2}\\ &N_B=\frac{Q}{1+\mu^2}\cdot\mu\\ \end{aligned}

Oraz tarcia:

\begin{aligned} &T_A=\frac{Q}{1+\mu^2}\cdot\mu\\ &T_B=\frac{Q}{1+\mu^2}\cdot\mu^2\\ \end{aligned}

W celu obliczenia całkowitych wartości reakcji musielibyśmy podstawić:

\begin{aligned} &R_A=\sqrt{N_A^2+T_A^2}=N_A\cdot\sqrt{1+\mu^2}=\frac{Q}{1+\mu^2}\cdot\sqrt{1+\mu^2}\\ &R_B=\sqrt{N_B^2+T_B^2}=N_B\cdot\sqrt{1+\mu^2}=\frac{Q\cdot\mu}{1+\mu^2}\cdot\sqrt{1+\mu^2}\\ \end{aligned}

Z równania momentów możemy natomiast obliczyć kąt nachylenia

\begin{aligned} &Q\cdot a\cdot\cos{\alpha}-T_B\cdot2a\cdot\cos{\alpha}-N_B\cdot2a\cdot\sin{\alpha}=0\\ &Q\cdot\cos{\alpha}-N_B\cdot\mu\cdot2\cdot\cos{\alpha}-N_B\cdot2\cdot\sin{\alpha}=0\\ &\cos{\alpha}\cdot\left(Q-N_B\cdot\mu\cdot2\right)=N_B\cdot2\cdot\sin{\alpha}\\ &\frac{Q-N_B\cdot\mu\cdot2}{N_B\cdot2}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}\\ &\tan{\alpha}=\frac{Q}{N_B\cdot2}-\mu=\frac{1+\mu^2}{2\cdot\mu}-\mu=\frac{1-\mu^2}{2\mu}\\ &\alpha=\arctan{\frac{1-\mu^2}{2\mu}}\\ \end{aligned}

Podstawiając przykładowe wartości liczbowe: $Q=2kN, \mu=0,2$ $\begin{aligned} &\alpha=\arctan{\frac{1-{0,2}^2}{2\cdot0,2}}=67,38°\\ &R_A=\frac{2}{1+{0,2}^2}\cdot\sqrt{1+{0,2}^2}=1,96\ kN\\ &R_B=\frac{2\cdot0.2}{1+{0,2}^2}\cdot\sqrt{1+{0,2}^2}=0,39\ kN\\ \end{aligned}$

Statyka - Płaski układ sił z tarciem

Mechanika techniczna - Statyka - Płaski układ sił z tarciem - Przykład 1

Przykład 1