Funkcje Taylora oraz wagowe:

\begin{aligned} p &= 2 \\ \overline{y_1} &= y_2 + \frac{y'_2}{1} h + \frac{y''_2}{2} h^2 \\ \overline{y'_1} &= y'_2 + \frac{y''_2}{1} h \\ \overline{y_3} &= y_2 + \frac{y'_2}{1} h + \frac{y''_2}{2} h^2 \\ \overline{y'_3} &= y'_2 + \frac{y''_2}{1} h \end{aligned} \begin{aligned} s &= 0 \\ \omega_1 &= \frac{1}{h^{2 + 1 - 0}} \rightarrow \omega_1 = \frac{1}{h^3} \\ s &= 1 \\ \omega'_1 &= \frac{1}{(h)^{2 + 1 - 1}} \rightarrow \omega'_1 = \frac{1}{h^2} \\ s &= 0 \\ \omega_3 &= \frac{1}{h^{2 + 1 - 0}} \rightarrow \omega_3 = \frac{1}{h^3} \\ s &= 1 \\ \omega'_3 &= \frac{1}{(h)^{2 + 1 - 1}} \rightarrow \omega'_3 = \frac{1}{h^2} \end{aligned}

Funkcja błędu:

\begin{aligned} J &= \left( y_1 - y_1 \right)^2 \cdot \omega_1^2 + \left( y{'}_1 - y{'}_1 \right)^2 \cdot \omega{'}_1^2 + \left( y_3 - y_3 \right)^2 \cdot \omega_3^2 + \left( y{'}_3 - y{'}_3 \right)^2 \cdot \omega{'}_3^2 \\ \end{aligned} \begin{aligned} J &= \left( y_2 - \frac{y'_2}{1} h + \frac{y''_2}{2} h^2 - y_1 \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{h^3} \right)^2 + \left( y'_2 - \frac{y''_2}{1} h - y'_1 \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{h^2} \right)^2 \\ & \quad + \left( y_2 + \frac{y'_2}{1} h + \frac{y''_2}{2} h^2 - y_3 \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{h^3} \right)^2 + \left( y'_2 + \frac{y''_2}{1} h - y'_3 \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{h^2} \right)^2 \end{aligned}

Minimalizacja funkcji błędu i wyniki dla poszczególnych wartości:

\begin{aligned} &\frac{d}{dy'_2} J = 0 \\ &\frac{-(y''_2 \cdot h^2) + 2 \cdot y'_2 \cdot h + (2 \cdot y_1 - 2 \cdot y_2)}{h^5} + \frac{-(2 \cdot y'_2 - 2 \cdot y'_1)}{h^4} + \frac{y''_2 \cdot h^2 + 2 \cdot y'_2 \cdot h + (2 \cdot y_2 - 2 \cdot y_3)}{h^5} = 0 \\ &y'_2 = \frac{(y'_3 + y'_1) \cdot h + y_3 - y_1}{4 \cdot h} \end{aligned} \begin{aligned} &\frac{d}{dy''_2} J = 0 \\ &\frac{y'_2 \cdot h^2 - 2 \cdot y'_2 \cdot h + (2 \cdot y_2 - 2 \cdot y_1)}{2 \cdot h^4} + \frac{2 \cdot y'_2 \cdot h + (2 \cdot y'_2 - 2 \cdot y'_3)}{h^3} + \frac{y''_2 \cdot h^2 + 2 \cdot y'_2 \cdot h + (2 \cdot y_2 - 2 \cdot y_3)}{2 \cdot h^4} = 0 \\ &y''_2= \frac{(2 \cdot y'_3 - 2 \cdot y'_1) \cdot h + y_3 + (y_1 - 2 \cdot y_2)}{5 \cdot h^2} \end{aligned}

Aproksymacja

Metody numeryczne - Aproksymacja - Przykład 7

Przykład 7