\[ d = \begin{bmatrix} d_3 \\ d_4 \\ d_6 \end{bmatrix} \]

\[ \mathbf{K} = \begin{bmatrix} K_{33} & K_{34} & K_{36} \\ K_{43} & K_{44} & K_{46} \\ K_{63} & K_{64} & K_{66} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} K_{1.33} & K_{1.34} & K_{1.36} \\ K_{1.43} & K_{1.44} + K_{2.11} & K_{1.46} + K_{2.13} \\ K_{1.63} & K_{1.64} + K_{2.31} & K_{1.66} + K_{2.33} \end{bmatrix} \]

\[ \mathbf{M} = \begin{bmatrix} M_{33} & M_{34} & M_{36} \\ M_{43} & M_{44} & M_{46} \\ M_{63} & M_{64} & M_{66} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} M_{1.33} & M_{1.34} & M_{1.36} \\ M_{1.43} & M_{1.44} + M_{2.11} & M_{1.46} + M_{2.13} \\ M_{1.63} & M_{1.64} + M_{2.31} & M_{1.66} + M_{2.33} \end{bmatrix} \]

\[ l_1 = 3 \qquad c = \frac{2}{\sqrt{2^2 + 1.5^2}} = 0.8 \qquad s = \frac{1.5}{\sqrt{2^2 + 1.5^2}} = 0.6 \qquad l_2 = \sqrt{2^2 + 1.5^2} = 2.5 \]

\[ \begin{bmatrix} c & s & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -s & c & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & s & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -s & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^T \cdot \begin{bmatrix} K_{11} & 0 & 0 & K_{14} & 0 & 0 \\ 0 & K_{22} & K_{23} & 0 & K_{25} & K_{26} \\ 0 & K_{32} & K_{33} & 0 & K_{35} & K_{36} \\ K_{41} & 0 & 0 & K_{44} & 0 & 0 \\ 0 & K_{52} & K_{53} & 0 & K_{55} & K_{56} \\ 0 & K_{62} & K_{63} & 0 & K_{65} & K_{66} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c & s & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -s & c & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & s & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -s & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} K_{22} \cdot s^2 + K_{11} \cdot c^2 & (-K_{22} + K_{11}) \cdot c \cdot s & -(K_{23} \cdot s) & K_{25} \cdot s^2 + K_{14} \cdot c^2 & (-K_{25} + K_{14}) \cdot c \cdot s & -(K_{26} \cdot s) \\ (-K_{22} + K_{11}) \cdot c \cdot s & K_{11} \cdot s^2 + K_{22} \cdot c^2 & K_{23} \cdot c & (-K_{25} + K_{14}) \cdot c \cdot s & K_{14} \cdot s^2 + K_{25} \cdot c^2 & K_{26} \cdot c \\ -(K_{32} \cdot s) & K_{32} \cdot c & K_{33} & -(K_{35} \cdot s) & K_{35} \cdot c & K_{36} \\ K_{52} \cdot s^2 + K_{41} \cdot c^2 & (-K_{52} + K_{41}) \cdot c \cdot s & -(K_{53} \cdot s) & K_{55} \cdot s^2 + K_{44} \cdot c^2 & (-K_{55} + K_{44}) \cdot c \cdot s & -(K_{56} \cdot s) \\ (-K_{52} + K_{41}) \cdot c \cdot s & K_{41} \cdot s^2 + K_{52} \cdot c^2 & K_{53} \cdot c & (-K_{55} + K_{44}) \cdot c \cdot s & K_{44} \cdot s^2 + K_{55} \cdot c^2 & K_{56} \cdot c \\ -(K_{62} \cdot s) & K_{62} \cdot c & K_{63} & -(K_{65} \cdot s) & K_{65} \cdot c & K_{66} \end{bmatrix} \]

\[ \begin{bmatrix} c & s & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -s & c & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & s & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -s & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^T \cdot \begin{bmatrix} M_{11} & 0 & 0 & M_{14} & 0 & 0 \\ 0 & M_{22} & M_{23} & 0 & M_{25} & M_{26} \\ 0 & M_{32} & M_{33} & 0 & M_{35} & M_{36} \\ M_{41} & 0 & 0 & M_{44} & 0 & 0 \\ 0 & M_{52} & M_{53} & 0 & M_{55} & M_{56} \\ 0 & M_{62} & M_{63} & 0 & M_{65} & M_{66} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c & s & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -s & c & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & s & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -s & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \Rightarrow \] \[ \Rightarrow \begin{bmatrix} M_{22} \cdot s^2 + M_{11} \cdot c^2 & (-M_{22} + M_{11}) \cdot c \cdot s & -(M_{23} \cdot s) & M_{25} \cdot s^2 + M_{14} \cdot c^2 & (-M_{25} + M_{14}) \cdot c \cdot s & -(M_{26} \cdot s) \\ (-M_{22} + M_{11}) \cdot c \cdot s & M_{11} \cdot s^2 + M_{22} \cdot c^2 & M_{23} \cdot c & (-M_{25} + M_{14}) \cdot c \cdot s & M_{14} \cdot s^2 + M_{25} \cdot c^2 & M_{26} \cdot c \\ -(M_{32} \cdot s) & M_{32} \cdot c & M_{33} & -(M_{35} \cdot s) & M_{35} \cdot c & M_{36} \\ M_{52} \cdot s^2 + M_{41} \cdot c^2 & (-M_{52} + M_{41}) \cdot c \cdot s & -(M_{53} \cdot s) & M_{55} \cdot s^2 + M_{44} \cdot c^2 & (-M_{55} + M_{44}) \cdot c \cdot s & -(M_{56} \cdot s) \\ (-M_{52} + M_{41}) \cdot c \cdot s & M_{41} \cdot s^2 + M_{52} \cdot c^2 & M_{53} \cdot c & (-M_{55} + M_{44}) \cdot c \cdot s & M_{44} \cdot s^2 + M_{55} \cdot c^2 & M_{56} \cdot c \\ -(M_{62} \cdot s) & M_{62} \cdot c & M_{63} & -(M_{65} \cdot s) & M_{65} \cdot c & M_{66} \end{bmatrix} \]

\[ K = \begin{bmatrix} \frac{4EI}{l_1} & 0 & \frac{2EI}{l_1} \\ 0 & \frac{EA}{l_1} + \left( \frac{12EI}{l_2^3} \cdot s^2 + \frac{EA}{l_2} \cdot c^2 \right) & -\left( \frac{6EI}{l_2^2} \cdot s \right) \\ \frac{2EI}{l_1} & -\left( \frac{6EI}{l_2^2} \cdot s \right) & \frac{4EI}{l_1} + \frac{4EI}{l_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 720 & 0 & 360 \\ 0 & 1386.899 & -311.04 \\ 360 & -311.04 & 1584 \end{bmatrix} \]

\[ M = \begin{bmatrix} \frac{\mu \cdot l_1^3}{105} & 0 & -\frac{\mu \cdot l_1^3}{140} \\ 0 & \frac{\mu \cdot l_1}{3} + \left( \frac{13 \cdot \mu \cdot l_2 \cdot s^2}{35} + \frac{\mu \cdot l_2}{3} \cdot c^2 \right) & -\left( \frac{11 \cdot \mu \cdot l_2^2 \cdot s}{210} \right) \\ -\frac{\mu \cdot l_1^3}{140} & -\left( \frac{11 \cdot \mu \cdot l_2^2 \cdot s}{210} \right) & \frac{\mu \cdot l_1^3}{105} + \frac{\mu \cdot l_2^3}{105} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10.8 & 0 & -8.1 \\ 0 & 78.44 & -8.25 \\ -8.1 & -8.25 & 17.05 \end{bmatrix} \]

\[ \det(K - \omega^2 \cdot M) = 0 \]

\[ \det\left( \begin{bmatrix} 720 & 0 & 360 \\ 0 & 1386.899 & -311.04 \\ 360 & -311.04 & 1584 \end{bmatrix} - \omega^2 \cdot \begin{bmatrix} 10.8 & 0 & -8.1 \\ 0 & 78.44 & -8.25 \\ -8.1 & -8.25 & 17.05 \end{bmatrix} \right) = 0 \]

MES

Metody numeryczne - MES - Przykład 12

Przykład 12