Niezbędne oznaczenia:

Dla poszczególnych elementów macierze sztywności wynoszą:

\begin{aligned} &\text{Element } 1\\ &c = \frac{3}{5}, \quad s = \frac{4}{5}, \quad l= 5 \\ &K_1 = \frac{E A}{l} \cdot \begin{bmatrix} c^2 & c \cdot s & -c^2 & -c \cdot s \\ c \cdot s & s^2 & -c \cdot s & -s^2 \\ -c^2 & -c \cdot s & c^2 & c \cdot s \\ -c \cdot s & -s^2 & c \cdot s & s^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 720 & 960 & -720 & -960 \\ 960 & 1280 & -960 & -1280 \\ -720 & -960 & 720 & 960 \\ -960 & -1280 & 960 & 1280 \end{bmatrix} \end{aligned} \begin{aligned} &\text{Element } 2\\ &c = -\frac{3}{5}, \quad s = \frac{4}{5}, \quad l = 5 \\ &K_2 = \frac{E A}{l} \begin{bmatrix} c^2 & c \cdot s & -c^2 & -c \cdot s \\ c \cdot s & s^2 & -c \cdot s & -s^2 \\ -c^2 & -c \cdot s & c^2 & c \cdot s \\ -c \cdot s & -s^2 & c \cdot s & s^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 720 & -960 & -720 & 960 \\ -960 & 1280 & 960 & -1280 \\ -720 & 960 & 720 & -960 \\ 960 & -1280 & -960 & 1280 \end{bmatrix} \end{aligned}

Obliczenie macierzy globalnej przebiegało by tradycyjnie wg poniższego schematu:

Ale! Warto zauważyć, że nie trzeba liczyć wszystkich jej elementów. Kolejnym krokiem jest rozwiązanie równania:

\begin{aligned} K \cdot d=w+r \end{aligned}

W naszym przypadku wektor d jest trywialny:

\begin{aligned} & K \cdot\left[\begin{array}{l} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \\ d_4 \\ d_5 \\ d_6 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -30 \\ 0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \\ r_4 \\ 0 \\ r_6 \end{array}\right] \\ & {\left[\begin{array}{llllll} K_{11} & K_{12} & K_{13} & K_{14} & K_{15} & K_{16} \\ K_{21} & K_{22} & K_{23} & K_{24} & K_{25} & K_{26} \\ K_{31} & K_{32} & K_{33} & K_{34} & K_{35} & K_{36} \\ K_{41} & K_{42} & K_{43} & K_{44} & K_{45} & K_{46} \\ K_{51} & K_{52} & K_{53} & K_{54} & K_{55} & K_{56} \\ K_{61} & K_{62} & K_{63} & K_{64} & K_{65} & K_{66} \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ d_5 \\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -30 \\ 0 \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \\ r_4 \\ 0 \\ r_6 \end{array}\right]} \end{aligned}

Jak łatwo zauważyć jedyne brakujące przemieszczenie można policzyć bardzo łatwo:

\begin{aligned} & K_{55}=\frac{E A}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5}+\frac{E A}{5} \cdot\left(\frac{-3}{5} \cdot \frac{-3}{5}\right)=1440 \\ & K_{55} \cdot d_5=-30 \\ & d_5=\frac{-30}{K_{55}}=-2.083 \cdot 10^{-2} \mathrm{~m} \\ & d:=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ d_5 \\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -2.083 \cdot 10^{-2} \\ 0 \end{array}\right] m \end{aligned}

Przechodzimy do obliczenia reakcji:

\begin{aligned} & r=K \cdot d-w \\ & r=\left[\begin{array}{cccccc} 720 & 960 & 0 & 0 & -720 & -960 \\ 960 & 1280 & 0 & 0 & -960 & -1280 \\ 0 & 0 & 720 & -960 & -720 & 960 \\ 0 & 0 & -960 & 1280 & 960 & -1280 \\ -720 & -960 & -720 & 960 & 1440 & 0 \\ -960 & -1280 & 960 & -1280 & 0 & 2560 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ d_5 \\ 0 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ -30 \\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 15 \\ 20 \\ 15 \\ -20 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \end{aligned}

MES

Metody numeryczne - MES - Przykład 3

Przykład 3