Rozwiązanie tego zadania jest trywialne pod warunkiem że pamiętamy o "sztuczce" - jeżeli znamy macierz sztywności elementu trójkątnego 1 znamy również macierz sztywności elementu 2, są one takie same, jeżeli spełnione są warunki:

1 węzły wspólne zapiszemy w tych samych położeniach (czyli 3-2-4 dla 1-2-4 w elemencie 1)
2 elementy są takie same (to samo pole, geometria etc, jedynie obrócone)
3 elementy mają wspólny bok

Czyli w praktyce macierz sztywności tak zapisanych elementów i macierz globalna:

\begin{aligned} K_1=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & 0 \\ \frac{-1}{2} & 1 & \frac{-1}{2} \\ 0 & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] \quad K_2=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{-1}{2} & 0 \\ \frac{-1}{2} & 1 & \frac{-1}{2} \\ 0 & \frac{-1}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] \quad K=\left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & -\frac{1}{2} & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned}

Znamy temperatury na brzegu 1-2-3:

\begin{aligned} &T(x, y)=2 x\\ & T_1=T(0,0)=0 \\ & T_2=T(2,0)=4 \\ & T_3=T(4,0)=8 \end{aligned}

Ponieważ układ jest nie obciążony równanie ma postać:

\begin{aligned} \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & -\frac{1}{2} & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} T_1 \\ T_2 \\ T_3 \\ T_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \end{aligned}

Aby je rozwiązać musimy przesunąć znane T na prawą stronę a następnie zastąpić równania odpowiadające znanym wartościom

\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & -\frac{1}{2} & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ T_4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]-\left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & -\frac{1}{2} & -1 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} T_1 \\ T_2 \\ T_3 \\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ -2 \\ 4 \end{array}\right]} \\ & {\left[\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ T_4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 4 \\ 8 \\ 4 \end{array}\right]} \end{aligned}

Stąd:

\begin{aligned} T_4=4 \end{aligned}

Gdybyśmy chcieli policzyć macierz sztywności elementu 2 bez "sztuczki", dla ułatwienia zapisu zastosujemy indeksy związane z kolejnością węzłów w elemencie nie ich numeracją (czyli 1-2-3 we wzorze to 3-2-4):

\begin{aligned} & \begin{bmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 0 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \\ & \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \\ & N_1(x, y) = a_1 \cdot x + b_1 \cdot y + c_1 \\ & N_2(x, y) = a_2 \cdot x + b_2 \cdot y + c_2 \\ & N_3(x, y) = a_3 \cdot x + b_3 \cdot y + c_3 \\ & B = \begin{bmatrix} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} N_1(x, y) & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} N_2(x, y) & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} N_3(x, y) \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} N_1(x, y) & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} N_2(x, y) & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y} N_3(x, y) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \\ & K = B^{\mathrm{T}} \cdot B \cdot A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \end{aligned}

MES

Metody numeryczne - MES - Przykład 5

Przykład 5