Drgania wymuszone nietłumione wywołane siłami harmonicznymi w czasie dla płaskich układów prętowych z dyskretnym rozkładem mas

Wprowadzenie – Od drgań własnych do drgań wymuszonych

Po analizie drgań własnych, które charakteryzują wewnętrzne, naturalne właściwości dynamiczne konstrukcji, przechodzimy do problemu drgań wymuszonych. W tym przypadku na układ działa zewnętrzna siła zmienna w czasie, która "zmusza" go do drgań z częstością wymuszenia. Szczególnym, ale bardzo ważnym w praktyce inżynierskiej, przypadkiem jest obciążenie harmoniczne – czyli takie, które zmienia się sinusoidalnie w czasie.

Obciążenie to można zapisać w postaci:

\[ \mathbf{P}(t) = \mathbf{P}^0 \sin(\theta t) \]

gdzie \(\mathbf{P}^0\) to wektor amplitud sił wymuszających, a \(\theta\) to częstość kołowa wymuszenia. W odpowiedzi na takie obciążenie, konstrukcja również zaczyna drgać harmonicznie z tą samą częstością, a jej przemieszczenia opisuje funkcja \( \mathbf{q}(t) = \mathbf{Q}^0 \sin(\theta t) \), gdzie \(\mathbf{Q}^0\) to wektor nieznanych amplitud przemieszczeń.

Równanie drgań wymuszonych harmonicznie

Równowaga dynamiczna sił w układzie prowadzi do fundamentalnego, niejednorodnego równania macierzowego drgań wymuszonych. Opisuje ono zależność między amplitudami przemieszczeń (\(\mathbf{Q}^0\)) a amplitudami sił wymuszających (\(\mathbf{P}^0\)):

\[ (\mathbf{K} - \theta^2 \mathbf{M}) \mathbf{Q}^0 = \mathbf{P}^0 \]

Gdzie:

• \(\mathbf{K}\) – macierz sztywności układu.
• \(\mathbf{M}\) – macierz mas.
• \(\theta\) – znana częstość wymuszenia.
• \(\mathbf{P}^0\) – znany wektor amplitud sił wymuszających.
• \(\mathbf{Q}^0\) – poszukiwany wektor amplitud przemieszczeń.

Sformułowanie z macierzą podatności

Podobnie jak w przypadku drgań własnych, wygodnie jest przekształcić to równanie, korzystając z macierzy podatności \(\mathbf{D} = \mathbf{K}^{-1}\). Mnożąc obie strony równania lewostronnie przez \(\mathbf{D}\), otrzymujemy:

\[ (\mathbf{I} - \theta^2 \mathbf{D} \mathbf{M}) \mathbf{Q}^0 = \mathbf{D} \mathbf{P}^0 \]

To sformułowanie pozwala bezpośrednio obliczyć nieznane amplitudy przemieszczeń \(\mathbf{Q}^0\) poprzez rozwiązanie układu równań liniowych. Wyrażenie \(\mathbf{D}\mathbf{P}^0\) reprezentuje wektor przemieszczeń statycznych od amplitud sił wymuszających, oznaczany jako \(\mathbf{\Delta}_P\).

Sformułowanie problemu z amplitudami sił bezwładności (przykład dla LSSD=2)

Alternatywnym i często stosowanym w literaturze podejściem jest sformułowanie równań, w których niewiadomymi nie są bezpośrednio amplitudy przemieszczeń \(Q^0\), lecz amplitudy sił bezwładności \(B^0\). Siły bezwładności są zdefiniowane jako \( \mathbf{B}(t) = -\mathbf{M}\ddot{\mathbf{q}}(t) \). Dla drgań harmonicznych ich amplitudy wynoszą \( \mathbf{B}^0 = \theta^2 \mathbf{M} \mathbf{Q}^0 \).

Po przekształceniach, równanie równowagi dla amplitud sił bezwładności przyjmuje postać:

\[ (\mathbf{D} - \frac{1}{\theta^2}\mathbf{M}^{-1})\mathbf{B} + \mathbf{D}\mathbf{P}^0 = 0 \]

Można to zapisać w formie skróconej jako \( \mathbf{D}^*\mathbf{B} + \mathbf{\Delta}_P = 0 \), gdzie \(\mathbf{D}^*\) jest zmodyfikowaną macierzą podatności, a \(\mathbf{\Delta}_P\) to wektor przemieszczeń statycznych.

Rozpisując to równanie dla układu o dwóch stopniach swobody, otrzymujemy układ dwóch równań liniowych:

\[ \begin{cases} \delta_{11}^* B_1 + \delta_{12}^* B_2 + \Delta_{1P} = 0 \\ \delta_{21}^* B_1 + \delta_{22}^* B_2 + \Delta_{2P} = 0 \end{cases} \]

gdzie zmodyfikowane współczynniki podatności \(\delta_{ii}^*\) dla macierzy diagonalnej mas wynoszą:

\[ \delta_{11}^* = \delta_{11} - \frac{1}{m_1 \theta^2} \] \[ \delta_{22}^* = \delta_{22} - \frac{1}{m_2 \theta^2} \]

a współczynniki pozaprzekątniowe pozostają bez zmian (\(\delta_{12}^* = \delta_{12}\), \(\delta_{21}^* = \delta_{21}\)). Wektor przemieszczeń statycznych \(\mathbf{\Delta}_P\) obliczany jest tak samo, jak w poprzednim podejściu:

\[ \Delta_{1P} = \delta_{11}P_1 + \delta_{12}P_2 \] \[ \Delta_{2P} = \delta_{21}P_1 + \delta_{22}P_2 \]

gdzie:

• \(B_1\) i \(B_2\) – amplitudy sił bezwładności na pierwszym i drugim stopniu swobody dynamicznej.

Rozwiązując ten układ równań, wyznaczamy poszukiwane amplitudy sił bezwładności \(B_1\) i \(B_2\). Następnie, znając je, możemy łatwo obliczyć amplitudy przemieszczeń z zależności \( Q_i = (1/m_i \theta^2) B_i \).

Zjawisko rezonansu – kluczowa rola drgań własnych

Analizując równanie drgań wymuszonych, można zauważyć, że jeśli częstość wymuszenia \(\theta\) zbliża się do jednej z częstości drgań własnych układu \(\omega_i\), wyznacznik macierzy \((\mathbf{K} - \theta^2 \mathbf{M})\) dąży do zera. W konsekwencji, amplitudy przemieszczeń \(\mathbf{Q}\) gwałtownie rosną, dążąc w układach nietłumionych do nieskończoności. Zjawisko to nazywamy rezonansem.

Wykres zależności amplitudy drgań od częstości wymuszenia pokazuje wyraźne "piki" w okolicach każdej z częstości własnych układu. Te obszary to strefy rezonansowe. Z praktycznego, inżynierskiego punktu widzenia, kluczowe jest, aby zakres częstości pracy konstrukcji (np. od pracujących maszyn) znajdował się z dala od tych stref.

Dlatego właśnie pierwszą i najważniejszą analizą dynamiczną, jaką należy wykonać, jest analiza drgań własnych. Określenie "ulubionych" częstości konstrukcji (\(\omega_i\)) pozwala świadomie projektować tak, aby uniknąć niebezpiecznego zjawiska rezonansu.

Często przyjmuje się, że częstość wymuszenia musi być poza zakresem 85-115% częstości własnych układu.

To znaczy:

• \(\theta < 0.85 \omega_i\)
• \(\theta > 1.15 \omega_i\)

gdzie \(\omega_i\) to i-ta częstość drgań własnych układu.

To pozwala na uniknięcie rezonansu i zapewnia bezpieczną pracę konstrukcji.