Ruszty sztywne i przegubowe

Wprowadzenie do rusztów – konstrukcje obciążone prostopadle do swojej płaszczyzny

Dotychczas analizowane płaskie układy prętowe (belki, ramy) były obciążone siłami działającymi w ich płaszczyźnie. Ruszty to układy prętowe, których osie również leżą w jednej płaszczyźnie, ale obciążenia działają prostopadle do tej płaszczyzny. Ta z pozoru niewielka zmiana wprowadza fundamentalnie nowy rodzaj siły wewnętrznej i całkowicie zmienia sposób pracy konstrukcji.

Ruszty są powszechnie spotykane w budownictwie jako stropy belkowe, pomosty mostów, pokłady statków czy konstrukcje wsporcze pod urządzenia. Ich analiza jest kluczowa dla zrozumienia, jak siły są rozkładane w układach krzyżujących się belek.

Siły wewnętrzne w rusztach – kluczowa rola skręcania

Podczas gdy w płaskich ramach mieliśmy do czynienia z momentem gnącym, siłą tnącą i siłą osiową, w rusztach siły osiowe są zazwyczaj pomijalne. Pojawia się za to nowy, decydujący gracz – moment skręcający. W ogólnym przypadku w przekroju poprzecznym pręta rusztu występują trzy siły wewnętrzne:

• Moment gnący (\(M_g\)): Zginający pręt w płaszczyźnie pionowej.
• Siła tnąca (\(Q\)): Związana ze zginaniem pręta.
• Moment skręcający (\(M_s\)): Skręcający pręt wokół jego osi podłużnej.

Pojawienie się momentu skręcającego jest naturalną konsekwencją wzajemnego oddziaływania prętów. Ugięcie jednej belki powoduje obrót jej przekroju, co z kolei wywołuje skręcanie belki prostopadłej, z którą jest połączona.

Rodzaje rusztów – przegubowe i sztywne

Sposób, w jaki pręty są ze sobą połączone w węzłach, decyduje o typie rusztu i metodzie jego analizy.

Ruszty przegubowe

W rusztach przegubowych zakłada się, że belki są na siebie swobodnie nałożone – w węzłach nie są przenoszone momenty ani siły skręcające między prętami. Układ taki często składa się z belek głównych (nośnych) i opartych na nich belek drugorzędnych (poprzecznych). Analiza takiego rusztu jest stosunkowo prosta:

• Rozwiązuje się go "warstwami" – najpierw belki drugorzędne.
• Obliczone reakcje z belek drugorzędnych (w miejscu łączenia z belkami głównymi) stają się siłami skupionymi obciążającymi belki główne.

Ruszty sztywne (monolityczne)

W rusztach sztywnych połączenia w węzłach są sztywne (monolityczne), co oznacza, że zapewniają one ciągłość przemieszczeń i obrotów. Węzeł nie tylko przenosi siły pionowe, ale także momenty gnące i skręcające z jednego pręta na drugi. Skutkuje to znacznie większą sztywnością i bardziej równomiernym rozkładem obciążeń w całej konstrukcji.

Jednak ta współpraca ma swoją cenę: ruszty sztywne są z reguły układami o wysokim stopniu statycznej niewyznaczalności.

Metody analizy rusztów statycznie niewyznaczalnych

Do rozwiązania sztywnych rusztów hiperstatycznych stosuje się te same fundamentalne metody, co w przypadku ram, jednak z kluczowym rozszerzeniem uwzględniającym skręcanie.

• Metoda sił: Jako siły nadliczbowe przyjmuje się nadliczbowe reakcje podporowe lub siły wewnętrzne (np. siły w połączeniu przegubowym między belkami). Dla rusztów sztywnych kluczowe jest rozszerzenie wzoru Maxwella-Mohra o energię odkształcenia od skręcania: \[ \delta = \int_L \frac{M_g(x)\bar{M}_g(x)}{EI} dx + \int_L \frac{M_s(x)\bar{M}_s(x)}{GI_s} dx \] gdzie \(GI_s\) to sztywność na skręcanie.
• Metoda przemieszczeń jest rzadko stosowana w praktyce.

Analiza rusztów jest zatem doskonałym przykładem zastosowania poznanych już metod w bardziej złożonym, przestrzennym problemie inżynierskim.

Metody wyznaczania stopnia statycznej niewyznaczalności dla rusztów sztywnych i przegubowych

Przed przystąpieniem do obliczeń, kluczowe jest określenie, czy dany ruszt jest statycznie wyznaczalny, czy niewyznaczalny, a jeśli tak – jaki jest stopień tej niewyznaczalności. Sposób analizy zależy od tego, czy mamy do czynienia z rusztem sztywnym, czy przegubowym.

Ruszty przegubowe

W rusztach przegubowych belki są na siebie swobodnie nałożone. Oznacza to, że nie tworzą one zamkniętych, sztywnych "oczek" (obwodów zamkniętych). W takim układzie stopień statycznej niewyznaczalności wynika jedynie z warunków podparcia oraz liczby połączeń między belkami. Stopień statycznej niewyznaczalności dla całego rusztu jest po prostu sumą stopni niewyznaczalności jego poszczególnych belek składowych dodać liczba połączeń między belkami.

Na przykład dla rusztu przedstawionego na rysunku 1, stopień statycznej niewyznaczalności wynosi:

\[ n = 0^{AB}+(-1)^{CD}+(-1)^{EF}+0^{GH}+4^{B,C,F,J}=2\]

Ruszty sztywne

W rusztach sztywnych pręty mogą tworzyć zamknięte "oczka" (komory, obwody zamknięte), a węzły są monolityczne. Statyczna niewyznaczalność wynika tu zarówno z warunków podparcia, jak i z wewnętrznej budowy siatki prętów.

Ogólny wzór na stopień statycznej niewyznaczalności rusztu sztywnego można zapisać jako:

\[ n = 3 \cdot z + r - p - 3 \]

Gdzie:

• \(z\) – liczba obwodów zamkniętych w ruszcie.
• \(r\) – liczba reakcji podporowych.
• \( p\) – liczba zwolnień od przegubów.

Należy pamiętać, że podpora typu utwierdzenie w ruszcie sztywnym posiada 3 reakcje (momeng zginający, moment skręcający i siła pionowa). Nie zliczamy w ogóle reakcji w osi rusztu z żadnej podpory.

Na przykład dla rusztu przedstawionego na rysunku 2, z jednym utwierdzeniem i jedną podporą przegubową, a także jednym przegubem kołowym (który zwalnia i moment zginający i skręcający), a także z jednym obwodem zamkniętym, stopień statycznej niewyznaczalności wynosi:

\[ n = 3\cdot 1 + 4 - 2 - 3 = 2\]

Przyjęcie układu podstawowego metody sił - ruszt przegubowy

Dla belki z rysunki 1 analiza może wyglądać następująco:

• Pamiętamy o tym, że belka CD i EF mają tylko jedno swoje podparcie i muszę podeprzeć się dodatkowo na którejś z belek z którą się przecinają.
• Uznamy że na belce CD zostawiamy połączenie w punkcie J, więc w UPMS-ie rysuję na belce CD podporę w punkcie J, a drugie połączenie -> w punkcie C -> na razie nie decydujemy co z nim zrobimy, mamy dwie możlwości -> albo rozetniemy to połączenie i wstawimy tu siłę hiperstatyczną jednostkową zabierając jedną więź, albo to połączenie może posłużyć dla belki EF do podparcia i wtedy tego połączenia nie rozcinamy, ale będzie na to połączenie przekazywany ciężar z reakcji na belce EF (z punktu C)
• Idąc dalej wybierzemy drugą opcję, spójrzmy na belkę EF, ma jedno swoje podparcie, więc musimy zdecydować czy się podeprze w punkcie C, przekazując swój ciężar z tego punktu niżej, czy podeprze się w punkcie F. Wybieramy punkt C, więc połączenie F zostaje jeszcze do dyspozycji.
• Belka AB nie będzie potrzebowała w punkcie F podparcia, więc mamy "nadmiarowe" połączenie które rozetniemy i wstawimy tu x1=1.
• Została jeszcze belka GH, która ma dwie więzi - w punkcie G i H i to zapewnia że jest stabilna,
• w punkcie J otrzymuje reakcję z belki CD, która na niej stoi. punkt B jest "nadmiarowym" połączeniem które rozetniemy wstawiając x2=1.

Układ podstawowy metody sił rysuję już obracając wszystkie belki osobno do płaszczyzny kartki.

Przyjęcie układu podstawowego metody sił - ruszt sztywny

Dla rusztu sztywnego jeśli występuje obwód zamknięty to należy go "otworzyć" - jeśli występuje w nim przegub, to najlepiej przez przegub. W związku z tym że przegub zwolnił oba momenty, to zostaje w nim jedna siła - pionowa, więc w rozcięciu - po jednej stronie przecięcia i po drugiej wstawiamy przeciwstawnie zwrócone siły x1=1

Jako drugą siłę hiperstatyczną przyjmujemy albo siłę pionową z podpory przegubowe, albo moment zginający, skręcający lub siłę pionową z podpory utwierdzenia.