Sprawdzenie kinematyczne

Sprawdzenie kinematyczne – głębsza weryfikacja rozwiązania

Po potwierdzeniu, że ostateczne reakcje podporowe spełniają globalne równania równowagi (sprawdzenie statyczne), zyskujemy pewność co do spójności sił zewnętrznych. Jednakże, sprawdzenie to nie daje gwarancji, że wykresy sił wewnętrznych (przy sprawdzeniu kinemtycznym najczęściej sprawdzamy jedynie moment ostateczny) są w pełni poprawne. Błąd w obliczeniu współczynników metody sił lub w superpozycji mógł teoretycznie doprowadzić do poprawnych reakcji, ale błędnego rozkładu sił wewnątrz konstrukcji.

Aby uzyskać pełne potwierdzenie poprawności całego rozwiązania, należy przeprowadzić sprawdzenie kinematyczne. Jest to metoda, która weryfikuje, czy ostateczne siły wewnętrzne są zgodne z kinematyką (odkształceniami) pierwotnego, rzeczywistego układu.

Na czym polega sprawdzenie kinematyczne?

Zasada jest prosta: w oryginalnej, statycznie niewyznaczalnej konstrukcji istnieją punkty, w których przemieszczenia lub obroty są z góry znane i najczęściej wynoszą zero. Przykładowo:

• Pionowe i poziome przemieszczenie w miejscu podpory stałej (przegubowo-nieprzesuwnej) wynosi zero.
• Obrót przekroju w miejscu pełnego utwierdzenia wynosi zero.
• Względny obrót przekrojów w miejscu sztywnego węzła lub na ciągłości belki wynosi zero (konstrukcja nie "łamie się" w tym punkcie).

Sprawdzenie kinematyczne polega na obliczeniu jednego z tych znanych zerowych przemieszczeń, używając do tego ostatecznego wykresu momentu gnącego (\(M_{ost}\)). Jeśli wynik obliczeń faktycznie wyniesie zero (lub wartość bliską zeru z uwagi na zaokrąglenia), oznacza to, że nasze wykres momentu gnącego jest poprawny, ponieważ prowadzi do zgodnych z rzeczywistością odkształceń.

Jak przeprowadzić sprawdzenie kinematyczne? Algorytm postępowania

Do obliczenia kontrolnego przemieszczenia wykorzystujemy, po raz kolejny, uniwersalną metodę Maxwella-Mohra. Proces przebiega następująco:

1. Wybór punktu i kierunku sprawdzenia:
   Wybieramy na konstrukcji punkt i kierunek, w którym przemieszczenie jest znane i wynosi zero. Dobra praktyka: sprwdzanie przemieszczenia w punkcie i na kierunku który nie był wykorzystany przy tworzeniu układu podstawowego.
2. Określenie stanu rzeczywistego:
   W tej weryfikacji "stanem rzeczywistym" jest ostateczny wykres momentu gnącego (\(M_{ost}(x)\)).
3. Stworzenie stanu wirtualnego (pomocniczego):
   Na układzie podstawowym (lub dowolnym innym układzie statycznie wyznaczalnym) przykładamy wirtualne obciążenie jednostkowe (\(P=1\) lub \(M=1\)) w miejscu i w kierunku wybranym w kroku 1 (możemy wykorzystać narysowany już na początku zadania z metody sił wykres momentu gnącego dla stanu jednostkowego). Jeśli wybierzemy sprawdzenie przemieszczenia w innym punkcie i kierunku niż zabrane więzi ze stanu pierwotnego, to dla tego stanu wyznaczamy wykres momentu gnącego \(\bar{M}(x)\).
4. Obliczenie przemieszczenia z całki Mohra:
   Obliczamy szukane przemieszczenie, mnożąc przez siebie wykresy ze stanu rzeczywistego (ostatecznego) i wirtualnego. Dla odkształceń od zginania wzór przyjmie postać: \[ \delta_{kontrolne} = \int_L \frac{M_{ost}(x) \cdot \bar{M}(x)}{EI} dx \] W obliczeniach praktycznych najwygodniej jest zastosować graficzną regułę Wereszczagina.
5. Weryfikacja wyniku:
   Sprawdzamy, czy otrzymany wynik jest zgodny z oczekiwaniami: \[ \delta_{kontrolne} \approx 0 \]

Interpretacja wyniku

Jeżeli obliczone przemieszczenie kontrolne jest równe zeru, możemy z bardzo dużym prawdopodobieństwem stwierdzić, że całe zadanie – od obliczenia współczynników, przez rozwiązanie układu równań, aż po superpozycję momentów gnących – zostało wykonane poprawnie.

Jeżeli wynik znacząco odbiega od zera, jest to bezdyskusyjny dowód na istnienie błędu w ostatecznym wykresie momentu gnącego (\(M_{ost}\)). Należy wtedy dokładnie prześledzić obliczenia.

Pozytywny wynik zarówno sprawdzenia statycznego, jak i kinematycznego, daje niemal całkowitą pewność co do poprawności rozwiązania układu statycznie niewyznaczalnego.