Łuki paraboliczne

Zastosowanie łuków parabolicznych

Łuki paraboliczne są cenione w budownictwie nie tylko za swoją funkcjonalność, ale także za estetyczny wygląd. Ze względu na zdolność do efektywnego przenoszenia obciążeń, są wybierane tam, gdzie liczy się lekka i wytrzymała konstrukcja, zwłaszcza w projektach dużych, otwartych przestrzeni. Dzięki swojej geometrii, łuki paraboliczne są w stanie równomiernie rozkładać obciążenia i są bardziej wytrzymałe niż łuki kołowe przy takich samych warunkach.

Oto niektóre miejsca, w których można je spotkać:

• Mosty i wiadukty: Charakterystyczna forma łuku parabolicznego czyni je idealnymi do przekraczania rozpiętości rzek, dolin czy innych przeszkód terenowych.
• Kościoły i budynki sakralne: Łuki paraboliczne odgrywają ważną rolę w architekturze sakralnej, gdzie są wykorzystywane do budowy kopuł, sklepień i arkad. Ich elegancka forma nie tylko zapewnia wytrzymałość, ale także nadaje wnętrzom wyjątkowy charakter.
• Dachy i hale: Łuki paraboliczne stosuje się w konstrukcji dużych dachów nad halami, magazynami czy hangarami, gdzie pozwalają uzyskać duże rozpiętości bez konieczności użycia licznych podpór.
• Tunele i galerie: W budownictwie podziemnym łuki paraboliczne są wykorzystywane jako elementy konstrukcyjne w tunelach i galeriach.
• Stadiony i obiekty sportowe: Konstrukcje dachów na stadionach często opierają się na łukach parabolicznych, które zapewniają lekkość konstrukcji i możliwość zadaszenia dużych obszarów bez podpór wewnętrznych.

Siły wewnętrzne w łukach parabolicznych

Reakcje podporowe dla łuków liczy się tak samo jak dla belek, ram, czy kratownic.

Największą trudnością przy obliczaniu sił wewnętrznych jest krzywoliniowy kształt pręta. Jednak z pomocą przychodzi nam trygonometria, która pozwoli nam obliczyć siły normalne i tnące. Pamiętajmy, że siły tnące i normalne będą zmieniać swoje kierunki wzdłuż krzywoliniowej linii łuku.

Funkcje sił wewnętrznych

Aby rozjaśnić kluczowe elementy analizy sił wewnętrznych w łukach parabolicznych rozważmy częściowo poniższy przykład:

Rys. 1. Przekrój myślowy dla łuku parabolicznego

Dla łuków parabolicznych inaczej niż dla łuków kołowych przyjmuje się układ współrzędnych na lewym albo prawym końcu.

Aby wyznaczyć współrzędną pionową punktu przyłożenia siły, a także żeby obliczyć \( \tan \alpha \), \( \sin \alpha \) i \( \cos \alpha \) musimy najpierw wyznaczyć równanie łuku parabolicznego (równanie paraboli).

Pokażemy dwie metody.

Równanie osi łuku parabolicznego

Metoda I

Znamy 3 punkty które należą do łuku - podpora A, B oraz wierzchołek - podstawiamy je do równania paraboli, rozwiązujemy układ równań i wyznaczamy parametry funkcji kwadratowej.

Równanie paraboli \(y=a \cdot x^2+b \cdot x+c\)

Współrzędne punktów:

\( A(0,0), B(10,0), W(5,3) \)

Wstawiamy do równania:

Punkt A:

\[ 0=a \cdot 0^2+b \cdot 0+c \] \[ c=0 \]

Punkt B:

\[ \begin{aligned} & 0=a \cdot 10^2+b \cdot 10+c \\ & b=-10a \end{aligned} \]

Punkt W:

\[ 3=a \cdot 5^2+b \cdot 5+c \] \[ \begin{aligned} & 3=a \cdot 5^2+(-10a) \cdot 5 \\ & 3=-25a \\ & a=\frac{-3}{25}=-0.12 \end{aligned} \]

Wobec tego \( b=-10a=1.2 \)

A więc funkcja paraboli: \(y=-0.12 \cdot x^2+1.2 \cdot x \)

Metoda II

Skorzystanie z równania osi łuku parabolicznego, przy początku układu współrzędnych na podporze A: \( y=\frac{4f}{L^2} \cdot(L-x) \cdot x\), gdzie:

• \(f\) - wysokość łuku,
• \(L\) - rozpiętość między podporami.

Mamy \(f=3, L=10\), wobec tego:

\[ y=\frac{4 \cdot 3}{10^2} \cdot(10-x) \cdot x=0.12 \cdot(10-x) \cdot x=1.2x-0.12x^2 \]

Znając równanie osi łuku parabolicznego możemy obliczyć pionową współrzędną przyłożenia siły.

Dla \(x=8 \text{ m} \quad y_P=-0.12x^2+1.2x=1.92 \text{ m}\)

Kierunek normalny i tnący

Robimy przekrój myślowy, puszczamy styczną do łuku przechodzącą przez ten punkt w którym zrobiliśmy przekrój (na rysunku powyżej na niebiesko). Ta styczna wyznacza kierunek normalny w tym przekroju myślowym. Prostopadle do kierunku normalnego jest kierunek tnący. Musimy zrzutować siły działające na ten przekrój od lewej strony na kierunek normalny i tnący.

Rys. 2. Rzutowanie sił na składowe normalne i tnące

Powtórka z matematyki - styczna do łuku jest nachylona do osi x pod kątem \( \alpha \), którego tangens:

\[ \tan \alpha=\frac{\partial y}{\partial x} \]

W rozważanym przykładzie:

\[ \tan \alpha=\frac{d(-0.12x^2+1.2x)}{dx}=-0.24 \cdot x+1.2 \]

Z trygonometrii mamy zależności które pozwolą nam wyznaczyć sinus i cosinus tego kąta:

\[ \sin \alpha=\frac{\tan \alpha}{\sqrt{1+\tan^2 \alpha}} \quad, \quad \cos \alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \alpha}} \]

Mając zrobione to wszystko funkcje sił wewnętrznych rozpisujemy klasycznie.

Zapraszamy do zgłębiania tematu i analizy sił wewnętrznych w łukach parabolicznych.

Powodzenia! 🛠️🔍