Metoda Clebscha

Równanie różniczkowe osi odkształconej belki

Równanie różniczkowe osi odkształconej belki od którego wychodzimy w Metodzie Clebscha ma następującą postać:

\[ E J \frac{d^2 y}{d x^2}=-M_g \]

Iloczyn \(E J\) jest ogólnym oznaczeniem sztywności na zginanie, gdzie:

E - moduł Younga,
J - moment bezwładności przekroju belki względem osi poziomej.

Znak „-" po prawej stronie równania wynika z przyjętego układu współrzędnych i umowy określającej znak momentu gnącego. Konkretnie - założenie dodatnich ugięć w dół, a więc dodatniego zwrotu osi ugięcia w dół.

Całkowanie równania różniczkowego

W celu wyznaczenia ugięć belki całkujemy dwukrotnie powyższe równanie i otrzymujemy pierwszą pochodną - funkcję kąta obrotu belki:

\[ \varphi=\frac{d y}{d x}=-\frac{1}{E J}\left(\int M_g d x+C\right) \]

oraz drugą pochodną - funkcję ugięcia:

\[ y=-\frac{1}{E J}\left(\int\left(\int M_g d x\right) d x+C x+D\right) \]

gdzie: C i D oznaczają stałe całkowania.

Stałe całkowania wyznaczamy z kinematycznych warunków brzegowych, tj. warunków na zerowe ugięcia i kąty ugięć w określonym typie podpory. Zobacz jakie są rodzaje podpór dla belki na płaszczyźnie

Zasady stosowania metody Clebscha

Tak jak zauważyliśmy metoda Clebscha, przy zachowaniu pewnych warunków sposobu zapisu, pozwala dla belki prostej otrzymać równanie linii ugięcia zawierające tylko dwie niewiadome (stałe całkowania) niezależnie od liczby przedziałów.

Zasady regulujące stosowanie metody Clebscha można ująć w 4 punktach:

1. Jednolity układ współrzędnych

Odcięte we wszystkich przedziałach muszą być mierzone od tego samego punktu - przyjmujemy dla belki prostej jeden układ współrzędnych, nie możemy zapisać np. części funkcji od jednej, a części od drugiej strony belki.

2. Ciągłość obciążenia rozłożonego

W przypadku działania obciążenia ciągłego nie może ono ulec przerwaniu - o ile taki przypadek zachodzi, to obciążenie ciągłe należy przedłużyć do końca belki, dodając jednocześnie takie samo obciążenie, ze znakiem przeciwnym (kontr-obciążenie).

3. Forma zapisu nowych członów

Wszystkie nowo dochodzące człony w wyrażeniu na moment gnący muszą zawierać czynnik \((x- l_{i-1})\), gdzie \(l_{i-1}\) oznacza współrzędną początku i-tego przedziału belki.

W przypadku pojawienia się momentu skupionego M – domnażamy moment przez ramię działania do potęgi 0:

\[ M\cdot (x-l_{i-1})^0 \]

4. Sposób całkowania

Całkowanie należy wykonać bez rozwijania wyrażeń w nawiasach - stałe całkowania obowiązują dla całej belki (dla wszystkich przedziałów).

Jeśli współrzędne \(l_{\mathrm{i}}\) określają położenie sił skupionych \(P_{\mathrm{i}}\) lub początków obciążenia ciągłego \(q_{\mathrm{i}}\), to wyrażenia typu \(P_i\left(x-l_i\right)\) lub \(q_i \frac{\left(x-l_i\right)^2}{2}\) całkuje się według schematu:

\[ \int\left(x-l_i\right)^n d x=\frac{\left(x-l_i\right)^{n+1}}{n+1}+C \]

Z tego kursu dowiesz się:

Metoda Clebscha (analityczna):

jak wyznaczyć funkcję momentu dla belki do metody Clebscha,
jak zapisać równanie różniczkowej osi odkształconej i jak je przecałkować,
jak obliczyć stałe całkowania równania z warunków brzegowych dla różnych typów belek,
jak obliczyć ugięcie i kąt obrotu w dowolnym punkcie belki.

Układy statycznie niewyznaczalne:

jak wyznaczyć reakcje w belce statycznie niewyznaczalnej metodą Clebscha.

A teraz spójrzmy na przykład poniżej i zobaczmy rozwiązanie w praktyce.

Zobacz przykład

Belka trzyprzedziałowa z różnymi rodzajami obciążeń.
Obliczyć ugięcie i kąt obrotu w zadanym punkcie belki.

Rozwiązanie przykładu z wideo-kursu

Treść

Oblicz ugięcie w punkcie A.

Przykład 1 - metoda Clebscha — *Rys. 1. Schemat belki z obciążeniami*

Rozwiązanie

Obliczamy reakcje podporowe

\[ \begin{aligned} &\sum{M_B}=0: -20\cdot 3+30\cdot 1.5+10+15\cdot 6-R_C\cdot 3=0 \Rightarrow R_A=28.33kN\\ &\sum{M_C}=0: -20\cdot 6+R_B\cdot 3-30\cdot 1.5+10+15\cdot 3=0 \Rightarrow R_B=36.67kN\\ &\sum{P_iY}=0: -20+R_B-30+R_C-15=0 \Rightarrow L=P \end{aligned} \]

Zapisujemy funkcję momentu

Zapisujemy funkcję momentu od lewej strony. Funkcję można też zapisać z prawej strony. Zachęcamy do sprawdzenia tego wariantu, obliczenia szukanego przemieszczenia i porównania wyników.

Funkcja momentu — *Rys. 3. Wyznaczanie funkcji momentu*

\[ \begin{aligned} &M_g(x)=-20x+R_B(x-3)-\frac{1}{2}q(x-3)^2+R_C(x-6)+10(x-6)^0+\frac{1}{2}q(x-6)^2\\ &EJ\cdot w''=-M_g(x)=20x-R_B(x-3)+5(x-3)^2- 28.33(x-6)-10(x-6)^0-5(x-6)^2\\ &EJ\cdot w'=20\frac{x^2}{2}-36.67\frac{(x-3)^2}{2}+5\frac{(x-3)^3}{3}-28.33\frac{(x-6)^2}{2}-10(x-6)-5\frac{(x-6)^3}{3}+C\\ &EJ\cdot w=20\frac{x^3}{6}-36.67\frac{(x-3)^3}{6}+5\frac{(x-3)^4}{12}-28.33\frac{(x-6)^3}{6}-10\frac{(x-6)^2}{2}-5\frac{(x-6)^4}{12}+Cx+D \end{aligned} \]

Warunki brzegowe

\[ \begin{aligned} &w(x=3)=0 \Rightarrow 90+3C+D=0\\ &w(x=6)=0 \Rightarrow 588.735+6C+D=0\\ &C=-166.245\\ &D=408.735 \end{aligned} \]

Obliczamy ugięcie w punkcie A

Jeśli układ współrzędnych przyjęliśmy na lewym końcu belki, to punkt A ma współrzędną x=0.

Wobec tego:

\[ \begin{aligned} &w_A(x=0)=\frac{1}{EI}\cdot (D)\\ &w_A=\frac{1}{EI}\cdot (408.735) \end{aligned} \]

Wytrzymałość materiałów