Twierdzenie Castigliano

Wprowadzenie do twierdzenia Castigliano

Twierdzenie Castigliano jest jedną z podstawowych metod energetycznych stosowanych do obliczania przemieszczeń w układach sprężystych. Metoda ta polega na różniczkowaniu całkowitej energii sprężystej układu względem siły, dla której przemieszczenie jest szukane. Twierdzenie to jest szczególnie użyteczne w analizie konstrukcji statycznie wyznaczalnych, gdzie umożliwia obliczenie zarówno przemieszczeń pionowych, jak i kątów obrotu. Proces obliczania wymaga ustalenia funkcji momentu zginającego dla elementów konstrukcji, a następnie zróżniczkowania tej funkcji względem odpowiedniej siły lub momentu.

Z tego kursu dowiesz się:

czym od strony teoretycznej jest twierdzenie Castigliano,
jaki jest algorytm obliczania przemieszczeń,
jak rozważać przypadki kiedy siła uogólniona jest w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia, a jak kiedy siły nie ma,
jak obliczyć ugięcie i kąt obrotu w dowolnym punkcie belki.

Energia sprężysta w pręcie zginanym

Wartość energii sprężystej nagromadzonej w pręcie zginanym (wpływ samego momentu zginającego):

\[ U^M=\int_{0}^{l}{\frac{M_g^2}{2EI}}dx \]

W przypadku skokowej zmiany przekroju pręta lub układu złożonego z kilku prętów – energię sprężystą wyznaczamy jako sumę energii nagromadzonej na długości \(l_i\) pręta:

\[ U^M=\sum \int_{0}^{l_i}{\frac{M_g^2}{2EI}}dx \]

A po zróżniczkowaniu otrzymamy:

\[ \delta_i=\sum \frac{1}{EI} \int_{0}^{l_i} (M_g \cdot \frac{\partial M_g}{\partial P_i}) dx \]

Zasady różniczkowania

Powyższy wzór ma charakter ogólny.

Wyznaczanie ugięcia

W przypadku wyznaczania ugięcia, różniczkujemy moment gnący względem siły działającej w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia.

Wyznaczanie kąta obrotu

Gdy wyznaczamy kąt obrotu, różniczkujemy moment gnący względem momentu przyłożonego jak opisano wyżej.

Ponadto, jeżeli w punkcie przekroju, w którym szukamy przemieszczenia, nie ma siły odpowiadającej temu przemieszczeniu, to należy przyłożyć dodatkowo siłę fikcyjną P* lub M*. W takim przypadku po wykonaniu działań matematycznych określonych poprzednim wzorem podstawiamy P*=0 lub M*=0.

Znaczenie przemieszczeń w konstrukcjach

Przemieszczenia w konstrukcjach są kluczowym aspektem wytrzymałości materiałów, ponieważ pozwalają na ocenę, jak konstrukcja będzie się deformować pod wpływem różnych obciążeń. Zrozumienie i umiejętność obliczania tych przemieszczeń jest niezbędne dla inżynierów, aby zapewnić, że konstrukcje będą bezpieczne, trwałe i spełniające wymagania użytkowe.

Przykład 1

Oblicz ugięcie i kąt obrotu w miejscu przyłożenia siły skupionej. Obciążenie na belce jest w [kN].

Rozwiązanie:

Najpierw obliczymy ugięcie w punkcie B.

W przypadku wyznaczania ugięcia różniczkujemy funkcję momentu gnącego względem siły działającej w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia.

Aby móc różniczkować względem siły, musimy jej nadać jakieś oznaczenie, przyjmijmy P=30 [kN].

Rozwiązanie 2 - Przykład 1 - metoda Castigliano — *Rys. 3. Schemat z oznaczeniem siły P*

Obliczamy reakcje podporowe:

\[ \begin{aligned} & \sum{Y}=0\\ & R_{CY}=P^*\\ & \sum{M_C}=0\\ & M_{A}-P^*\cdot 2=0\\ & M_{A}=2P^* \end{aligned} \]

Funkcje momentu

Przedział A-B => x∈⟨0;2)m i przedział B-C => x∈⟨3;5)m

\[ \begin{aligned} &M_{g1}^{AB}=M_A=2P^*\\ &M_{g2}^{BC}=2P^*-P^*\cdot (x-3) \end{aligned} \]

Rozwiązanie druga część - obliczenie kąta obrotu

Rozwiązanie 3 - Przykład 1 - metoda Castigliano — *Rys. 4. Schemat dla obliczenia kąta obrotu*

Zauważamy, że NIE MA w punkcie B siły odpowiadającej szukanemu przemieszczeniu (szukanemu kątowi obrotu odpowiada moment skupiony).

Jeśli w zadaniu nie jest przyłożony moment skupiony tam, gdzie mamy obliczyć kąt obrotu, to należy dołożyć fikcyjny moment \(M^*=0\), policzyć reakcje z uwzględnieniem tego momentu, wykonać różniczkowanie po \(M^*\), a na ostatnim etapie podstawić \(M^*=0\).

Wytrzymałość materiałów