Wykresy w belkach prostych

Z tego tekstu dowiesz się czym jest siła osiowa (inaczej normalna), siła poprzeczna (inaczej tnąca) i moment gnący oraz jaka jest konwencja znakowania tych sił wewnętrznych.

Opiszemy jakie są zależności między obciążeniem ciągłym, siłą tnącą i momentem gnącym oraz jakich zmian na wykresach sił wewnętrznych należy się spodziewać przy określonym obciążeniu na belce.

Rodzaje sił wewnętrznych

Mamy trzy podstawowe rodzaje sił wewnętrznych, które mogą występować w belkach:

1. Siły normalne (osiowe) - wynikają z działania sił wzdłuż osi belki. Jeżeli siła jest skierowana wzdłuż osi belki, powodując jej rozciąganie lub ściskanie, to jest to siła normalna. Symbolicznie oznaczane jako N.
2. Siły poprzeczne (tnące) - działają prostopadle do osi belki i powodują wewnętrzne naprężenia ścinające. Oznaczane są jako Q i są odpowiedzialne za przesunięcie pionowe różnych przekrojów belki względem siebie.
3. Moment zginający - to moment siły, który powoduje zginanie belki. Wpływa na krzywiznę belki i zmienia się wzdłuż jej długości. Moment zginający oznaczamy jako M.

Konwencja znakowania sił wewnętrznych

Konwencja znakowania sił wewnętrznych w mechanice belki jest kluczowa, aby prawidłowo interpretować ich kierunki i wartości, a także spójnie zapisywać wyniki w analizie konstrukcji.

Oto, jak zazwyczaj wygląda konwencja znakowania dla każdej z sił wewnętrznych:

a) Siła normalna (N)

• Rozciąganie: Siła, która rozciąga belkę (działa na zewnątrz przekroju, "oddala" się od środka belki), jest zazwyczaj uznawana za dodatnią. W skrócie: jeżeli belka jest rozciągana, siła normalna N jest dodatnia.
• Ściskanie: Siła, która ściska belkę (działa w kierunku osiowym, do środka przekroju, powodując ściskanie), jest uznawana za ujemną.

b) Siła poprzeczna (Q)

• Dodatnia siła tnąca: Gdy siła działa w górę po lewej stronie przekroju lub w dół po prawej stronie przekroju, siła poprzeczna jest uznawana za dodatnią.
• Ujemna siła tnąca: Siła działająca w dół po lewej stronie przekroju lub w górę po prawej stronie przekroju jest uznawana za ujemną.

c) Moment zginający (M)

• Dodatni moment zginający (momenty powodujące uśmiech): Jeżeli moment zginający powoduje, że belka wygina się w kształt przypominający "uśmiech" (tzn. włókna górne belki są ściskane, a dolne rozciągane), moment jest dodatni.
• Ujemny moment zginający (momenty powodujące smutną minę): Gdy belka wygina się w przeciwnym kierunku (włókna górne rozciągane, a dolne ściskane – "smutna mina"), moment zginający jest ujemny.

Zależność między obciążeniem ciągłym, siłą tnącą i momentem gnącym

a) Obciążenie ciągłe q(x)

Obciążenie ciągłe q(x) to siła rozłożona wzdłuż długości belki, działająca na jednostkę długości.

Może być ono stałe lub zmienne w zależności od położenia x na belce.

b) Siła tnąca Q(x)

Związek między obciążeniem ciągłym a siłą tnącą:

\( \frac{dQ(x)}{dx} = -q(x) \)

Innymi słowy, zmiana siły tnącej wzdłuż belki jest spowodowana obciążeniem ciągłym.

• Gdy obciążenie ciągłe q(x) jest dodatnie (np. skierowane w dół), siła tnąca Q(x) maleje wzdłuż długości belki.
• Gdy q(x) = 0 (brak obciążenia), siła tnąca jest stała.
• Jeśli siła tnąca jest zerowa - wówczas moment gnący jest stały.

c) Moment zginający M(x)

Związek między siłą tnącą a momentem zginającym:

\( \frac{dM(x)}{dx} = Q(x) \)

Zatem zmiana momentu zginającego wzdłuż belki jest spowodowana siłą tnącą.

• Gdy siła tnąca Q(x) jest dodatnia, moment zginający M(x) wzrasta.
• Gdy wykres sił tnących Q(x) = 0, moment zginający osiąga ekstremum.

Zasady rysowania wykresów sił wewnętrznych

Powiedzmy że są trzy metody rysowania wykresów sił wewnętrznych:

a) Metoda podstawowa

Podstawową metodą rysowania wykresów sił wewnętrznych jest pierwotne zapisanie funkcji sił wewnętrznych. W naszych kursach, również darmowych, znajdziesz przykłady od początku do końca rozwiązania belki tą metodą.

b) Metoda zaawansowana

Bardziej zaawansowana metoda polega na rysowaniu wykresów bez zapisywania funkcji sił wewnętrznych i do tej metody przyda się znajomość pewnych zasad rysowania wykresów sił wewnętrznych:

• jeżeli w dowolnym punkcie belki jest przyłożona siła poprzeczna, na wykresie sił poprzecznych Q następuje skok o wartość tej siły, skok jest w tą stronę co zwrot siły patrząc na wykres od lewej do prawej strony,
• jeżeli na odcinku belki występuje obciążenie ciągłe, to na wykresie sił poprzecznych Q na tym odcinku następuje zmiana o wartość wypadkowej od obciążenia ciągłego ze zwrotem zgodnym z wypadkową (patrząc na wykres od lewej do prawej strony),
• jeżeli w dowolnym punkcie belki jest przyłożony moment skupiony, to na wykresie momentów M następuje skok o wartość tego momentu, skok jest w stronę dodatnią lub ujemną w zależności czy jest prawoskrętny, czy lewoskrętny - patrz konwencja znakowania

c) Metoda wykorzystująca pole pod wykresem

Ciekawą zależność między wykresem Q(x) i M(x) a mianowicie, że na wykresie momentów gnących mamy zmianę odpowiadającą polu z wykresu sił tnących również można wykorzystać do rysowania wykresów, obliczenia wykorzystujące tą metodą również znajdziecie w naszych materiałach na YouTube, jednak jest to metoda rzadko pokazywana przez prowadzących zajęcia.

Teoria teorią, ale jednak lepsze zrozumienie przyniesie na pewno rozwiązanie przykładów: