Figura nie ma osi symetrii, początkowy układ osi przyjmujemy więc dowolnie.

Szukamy dwóch współrzędnych środka ciężkości. Obliczamy je jako iloraz statycznego momentu bezwładności z całkowitym polem przekroju. Dobrze sobie wypisać pomocniczo współrzędne „z-towe” i „y-kowe” środków ciężkości poszczególnych figur prostych (y1, y2 i z1, z2) oraz ich pola (A1 i A2).

Środek ciężkości

\begin{aligned} &y_1=\frac{10}{3}\ cm & z_1=\frac{10}{3}\ cm\\ &y_2=2\ cm & z_2=\frac{4}{3}\ cm\\ & A_1=50\ cm^2 & A_2=6\ cm^2\\ &A=A_1+A_2=56\ cm^2\\ &y_c=\frac{y_1\cdot A_1-y_2\cdot A_2}{A}=3,515\ cm\\ &z_c=\frac{z_1\cdot A_1-z_2\cdot A_2}{A}=3,606\ cm\\ \end{aligned}

Zaznaczamy obliczony środek ciężkości na rysunku, osie przeniesione do środka ciężkości to osie centralne. Obliczamy centralne momenty bezwładności oraz moment dewiacji.

Charakterystyki geometryczne, centralne momenty bezwładności

\begin{aligned} &I_{yc}=\frac{10\cdot 10^3}{36}+50\cdot(\frac{10}{3}-3,606)^2-[\frac{3\cdot 4^3}{36}+6\cdot (\frac{4}{3}-3,606)^2]=245,17\ cm^4\\ &I_{zc}=\frac{10\cdot 10^3}{36}+50\cdot(\frac{10}{3}-3,515)^2-[\frac{4\cdot 3^3}{36}+6\cdot (2-3,515)^2]=265,65\ cm^4\\ &I_{yczc}=-\frac{10^2\cdot 10^2}{72}+50\cdot (\frac{10}{3}-3,606)\cdot(\frac{10}{3}-3,515)-[\frac{3^2\cdot 4^2}{72}+6\cdot (2-3,515)\cdot(\frac{4}{3}-3,606)]=-159,07\ cm^4\\ \end{aligned}

Główne centralne momenty bezwładności

\begin{aligned} &I_{1,2}=\frac{I_{zc}+I_{yc}}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_{zc}-I_{yc}}{2})^2+J_{yczc}^2}\\ &I_1=413,22\ cm^4\\ &I_2=94,6\ cm^4\\ \end{aligned}

Znając główne centralne momenty bezwładności obliczamy kąt obrotu do osi głównych centralnych (uwaga, można spotkać różne postacie poniższego wzoru).

Kąt obrotu do osi głównych centralnych

\begin{aligned} &tan\varphi_1=\frac{I_{yczc}}{I_{zc}-I_1}=1,0565\\ &\varphi_1=arctan(tan\varphi_1)=46,57^o\\ \\ &tan\varphi_2=\frac{I_{yczc}}{I_{zc}-I_2}=-0,9465\\ &\varphi_2=arctan(tan\varphi_2)=-43,43^o\\ \end{aligned}

Zaznaczamy na rysunku osie główne centralne. Obliczone kąty odmierzamy od poziomej osi yc. Dodatni kąt odmierzamy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Charakterystyki geometryczne

Wytrzymałość materiałów - Charakterystyki geometryczne - Przykład 2

Przykład 2