Figura nie ma osi symetrii, początkowy układ osi przyjmujemy więc dowolnie. Dzielimy przekrój na figury proste i numerujemy je.

Szukamy dwóch współrzędnych środka ciężkości. Obliczamy je jako iloraz statycznego momentu bezwładności z całkowitym polem przekroju. Dobrze sobie wypisać pomocniczo współrzędne „z-towe” i „y-kowe” środków ciężkości poszczególnych figur prostych oraz ich pola.

Środek ciężkości

\begin{aligned} &y_1=1,5\ cm & z_1=4,5\ cm\\ &y_2=5\ cm & z_2=5\ cm\\ &y_3=2\ cm & z_3=2\ cm\\ &A_1=9\ cm^2 \\ &A_2=9\ cm^2\\ &A_3=4,5\ cm^2\\ &A=A_1+A_2+A_3=22,5\ cm^2\\ &y_c=\frac{y_1\cdot A_1+y_2\cdot A_2+y_3\cdot A_3}{A}=3\ cm\\ &z_c=\frac{z_1\cdot A_1+z_2\cdot A_2+z_3\cdot A_3}{A}=4,2\ cm\\ \end{aligned}

Zaznaczamy obliczony środek ciężkości na rysunku, osie przeniesione do środka ciężkości to osie centralne. Obliczamy centralne momenty bezwładności oraz moment dewiacji.

Charakterystyki geometryczne, centralne momenty bezwładności

Aby obliczyć charakterystyki dla figury jako całości, trzeba momenty bezwładności poszczególnych figur względem ich środków ciężkości (z tablic) zgodnie z twierdzeniem Steinera przenieść do osi centralnych.

\begin{aligned} &I_{yc}=I_{y1}+A_1\cdot (z_1-z_c)^2+I_{y2}+A_2\cdot (z_2-z_c)^2+I_{y3}+A_3\cdot (z_3-z_c)^2\\ &I_{yc}=\frac{3\cdot 3^3}{12}+9\cdot (4,5-4,2)^2+\frac{6\cdot 3^3}{36}+9\cdot (5-4,2)^2+\frac{3\cdot 3^3}{36}+4,5\cdot (2-4,2)^2=41,85\ cm^4\\ \\ &I_{zc}=I_{z1}+A_1\cdot (y_1-y_c)^2+I_{z2}+A_2\cdot (y_2-y_c)^2+I_{z3}+A_3\cdot (y_3-y_c)^2\\ &I_{zc}=\frac{3\cdot 3^3}{12}+9\cdot (1,5-3)^2+\frac{3\cdot 6^3}{36}+9\cdot (5-3)^2+\frac{3\cdot 3^3}{36}+4,5\cdot (2-3)^2=87,75\ cm^4\\ \\ &I_{yczc}=I_{yz1}+A_1\cdot(y_1-y_c)(z_1-z_c)+I_{yz2}+A_2\cdot(y_2-y_c)(z_2-z_c)+I_{yz3}+A_3\cdot(y_3-y_c)(z_3-z_c)\\ &I_{yczc}=0+9\cdot (4,5-4,2)(1,5-3)+\frac{6^2\cdot 3^2}{72}+9\cdot (5-4,2)(5-3)+(-\frac{3^2\cdot 3^2}{72})+4,5\cdot (2-4,2)(2-3)=23,625\ cm^4\\ \end{aligned}

Główne centralne momenty bezwładności

Zgodnie ze wzorem:

\begin{aligned} &I_{1,2}=\frac{I_{zc}+I_{yc}}{2}\pm \sqrt{(\frac{I_{zc}-I_{yc}}{2})^2+J_{yczc}^2}\\ &I_1=97,74\ cm^4\\ &I_2=31,86\ cm^4\\ \end{aligned}

Znając główne centralne momenty bezwładności obliczamy kąt obrotu do osi głównych centralnych (uwaga, można spotkać różne postacie poniższego wzoru).

Kąt obrotu do osi głównych centralnych

\begin{aligned} &tan\varphi_1=\frac{I_{yczc}}{I_{zc}-I_1}=-2,364865\\ &\varphi_1=arctan(tan\varphi_1)=-67,08^o\\ \\ &tan\varphi_2=\frac{I_{yczc}}{I_{zc}-I_2}=0,4227053\\ &\varphi_2=arctan(tan\varphi_2)=22,92^o\\ \end{aligned}

Zaznaczamy na rysunku osie główne centralne. Obliczone kąty odmierzamy od poziomej osi yc. Dodatni kąt odmierzamy przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Charakterystyki geometryczne

Wytrzymałość materiałów - Charakterystyki geometryczne - Przykład 7

Przykład 7