Figura ma jedną oś symetrii, więc na niej przyjmujemy jedną z osi układu. Drugą oś przyjmujemy dowolnie, na przykład po dolnej krawędzi jak poniżej.

Szukamy pionowej współrzędnej środka ciężkości „zc”. Obliczamy ją jako iloraz statycznego momentu bezwładności i całkowitego pola przekroju. Dobrze sobie wypisać pomocniczo współrzędne „z-towe” środków ciężkości poszczególnych figur prostych (y1 i y2) oraz ich pola (A1 i A2). W obliczeniach uwzględniono połowę przekroju (figura 1 i 2 po prawej stronie osi). Przy momentach bezwładności domnażamy obliczenia przez 2.

Obliczenie położenia środka ciężkości

\begin{aligned} &z_1=2a & A_1=\frac{1}{2}\cdot6\cdot 8 a^2=24a^2\\ &z_2=3a-\frac{4a}{3\pi}=2,576a & A_2=\frac{\pi a^2}{2}\\ &z_c=\frac{z_1A_1-z_2A_2}{A_1-A_2}=\frac{2a\cdot 24a^2- 2,576a\cdot \frac{\pi a^2}{2}}{24a^2-\frac{\pi a^2}{2}}=1,96a\\ \end{aligned}

Zaznaczamy obliczony środek ciężkości na rysunku, a oś pozioma przeniesiona do środka ciężkości to oś główna centralna.

Obliczenie momentu bezwładności względem osi głównych centralnych

Do obliczenia momentu bezwładności względem osi poziomej musimy skorzystać z twierdzenia Steinera, dla osi pionowej nie jest to potrzebne.

\begin{aligned} &I_{YC}=I_{Y1}+A_1(z_1-z_C)^2-I_{Y2}-A_2(z_2-z_C)^2\\ &I_{YC}=2\Bigg[ \frac{4a\cdot(6a)^3}{36}+24a^2\cdot(2a-1,96a)^2-0,0549a^4-\frac{\pi a^2}{4}(2,576a-1,96a)^2 \Bigg]=47,37a^4\\ &I_{ZC}=I_{Z1}-I_{Z2}\\ &I_{ZC}=2\Bigg[ \frac{(4a)^3\cdot 6a}{12}-\frac{\pi \cdot a^4}{16} \Bigg]=63,61a^4\\\\ \end{aligned}

Charakterystyki geometryczne

Wytrzymałość materiałów - Charakterystyki geometryczne - Przykład 2

Przykład 2