Metoda 3 momentów

SSN = 5 - 3 = 2

Układ podstawowy

1.1.3. Wyznaczenie długości porównawczych

\[ l_{k'} = l_k \frac{I_C}{I_K} \]

przyjęto \( I_C := I \)

\[ \begin{aligned} l_1 &= 5\,\text{m} \\ l_2 &= 9\,\text{m} \\ l_3 &= 7\,\text{m} \end{aligned} \quad \begin{aligned} l_{1'} &= l_1 \frac{I}{I} = 5\,\text{m} \\ l_{2'} &= l_2 \frac{I}{3I} = 3\,\text{m} \\ l_{3'} &= l_3 \frac{I}{2I} = 3{,}5\,\text{m} \end{aligned} \]

1.1.4. Równanie trzech momentów

\[ \begin{aligned} x_0 &= -3\,\text{kN} \cdot 0{,}5\,\text{m} = -1{,}5\,\text{kN}\cdot\text{m} \\ x_1 &= ? \\ x_2 &= ? \\ x_3 &= 0 \end{aligned} \]

\[ x_{k-1} \cdot l_{k'} + 2 \cdot x_k(l_{k'} + l_{k+1'}) + x_{k+1}\cdot l_{k+1'} = N_{kP} \]

dla \( k = 1 \):

\[ x_0 \cdot l_{1'} + 2 \cdot x_1 (l_{1'} + l_{2'}) + x_2 \cdot l_{2'} = N_{1P} \] \[ 16 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 = 7{,}5 = N_{1P} \]

dla \( k = 2 \):

\[ x_1 \cdot l_{2'} + 2 \cdot x_2 (l_{2'} + l_{3'}) + x_3 \cdot l_{3'} = N_{2P} \] \[ 3 \cdot x_1 + 13 \cdot x_2 = N_{2P} \]

Obliczenie \( N_{1P} \)

SPOSÓB I

\[ N_{1P} = -6EIc \left( \varphi_{1L} + \varphi_{1P} \right) \]

\[ \varphi_{1L} = \int \frac{M_1 \cdot M_P}{EI}\, dS \]

\[ \varphi_{1L} = \frac{1}{EI} \left( \frac{2}{3} \cdot 9{,}375 \cdot 5 \cdot 0{,}5 \right) = \frac{15{,}625}{EI} \]

\[ \varphi_{1P} = \frac{1}{3EI} \left( \frac{-4{,}5}{6} \left( (1 \cdot 0 + 0{,}5 \cdot 2{,}5) + (4 \cdot 0{,}75 \cdot 1{,}25) + \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 4{,}5 \cdot \frac{2}{3} \cdot 2{,}5 \right) \right) \]

\[ = \frac{-0{,}625}{EI} \]

\[ N_{1P} = -6EI \cdot (\varphi_{1L} + \varphi_{1P}) = -90 \]

II sposób

\[ N_{1P} = -\left( 1_{1}^2 \right) \cdot 1_{1'} \left[ \int_0^1 3 \left( 2\xi - 3\xi^2 + \xi^3 \right) d\xi \right] - 1_{2'} \cdot 5 \left[ 2 - 6 \left( \frac{1}{2} \right) + 3 \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right] = -90 \]

Wyznaczenie \(N_{2P}\)

I sposób

\[ N_{2P} = -6EI_C \cdot (\varphi_{2L} + \varphi_{2P}) \]

\[ \varphi_{2L} = \int \frac{M_2 \cdot M_P}{EI} \, dS \qquad \varphi_{2P} = \int \frac{M_2 \cdot M_P}{EI} \, dS \]

\[ \varphi_{2L} = \frac{1}{3EI} \left[ \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 4{,}5 \cdot \frac{2}{3} \cdot (-2{,}5) + \frac{4{,}5}{6} \left[ (0{,}5 \cdot 2{,}5 + 1 \cdot 0) + 4 \cdot 0{,}75 \cdot 1{,}25 \right] \right] = 0{,}625 \cdot \frac{1}{EI} \]

\[ \varphi_{2P} = \frac{1}{2EI} \left[ \frac{3{,}5}{6} \left[ (1{,}0 + 0{,}5 \cdot 21) + 4 \cdot 0{,}75 \cdot 10{,}5 \right] + \frac{1}{2} \cdot 0{,}5 \cdot 3{,}5 \cdot \frac{2}{3} \cdot 21 \right] = 18{,}375 \cdot \frac{1}{EI} \]

\[ N_{2P} = -6EI \cdot (\varphi_{2L} + \varphi_{2P}) = -114 \cdot \frac{1}{EI} \]

II sposób \(\xi\) – położenie względne siły lub momentu na elemencie

\[ N_{2P} = -l_{2'} \cdot \sum M_i \left( 2 - 6\xi + 3\xi^2 \right) + (-l_1 \cdot 1_{1'}) \cdot \sum P_i \left( \xi - \xi^3 \right) \]

\[ N_{2P} = -l_{2'} \cdot (-5) \left[ 2 - 6 \cdot \frac{1}{2} + 3 \left( \frac{1}{2} \right)^2 \right] - l_3 \cdot l_{3'} \cdot 12 \left[ \frac{1}{2} - \left( \frac{1}{2} \right)^3 \right] = -114 \]

1.1.5. Rozwiązanie układu równań

\[ 16 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 - 7{,}5 = N_{1P} \] \[ 3 \cdot x_1 + 13 \cdot x_2 = N_{2P} \]

\[ 16 \cdot x_1 + 3 \cdot x_2 - 7{,}5 = -90 \] \[ 3 \cdot x_1 + 13 \cdot x_2 = -114 \]

\[ x_1 = -3{,}671\,\text{kNm} \] \[ x_2 = -7{,}922\,\text{kNm} \]

1.1.6. Wyznaczenie wartości momentów zginających ostatecznych

\[ M_{\text{ost}} = M_1 \cdot x_1 + M_2 \cdot x_2 + M_P \]

\[ M_0 = x_0 = -1{,}5\,\text{kNm} \] \[ M_1 = 1 \cdot x_1 = -3{,}671\,\text{kNm} \] \[ M_{A1} = 0{,}5 \cdot x_1 + 0{,}5 \cdot x_2 - 2{,}5 =-8{,}296\,\text{kNm} \] \[ M_{A2} = 0{,}5 \cdot x_1 + 0{,}5 \cdot x_2 + 2{,}5 =-3{,}296\,\text{kNm} \] \[ M_2 = 1 \cdot x_2 = -7{,}922\,\text{kNm} \] \[ M_B = 0{,}5 \cdot x_2 + 21 = 17{,}039\,\text{kNm}

1.1.7. Wyznaczenie reakcji podporowych i wykresu sił tnących

\]

\[ \sum M_0 = 0 \]

\[ -1{,}5 + 3 \cdot 5 \cdot 2{,}5 - x_1 - R_{1L} \cdot 5 = 0 \]

\[ R_{1L} = \frac{39{,}671}{5} = 7{,}934\, \text{kN} \]

\[ \sum y = 0 \]

\[ R_0 - 3 \cdot 5 + R_{1L} = 0 \]

\[ R_0 = 7{,}066\, \text{kN} \]

\[ \sum M_1 = 0 \]

\[ x_1 + 5 - x_2 - R_{2L} \cdot 9 = 0 \]

\[ R_{2L} = \frac{9{,}251}{9} = 1{,}028\, \text{kN} \]

\[ \sum y = 0 \]

\[ R_{1P} + R_{2L} = 0 \]

\[ R_{1P} = -R_{2L} = -1{,}028\, \text{kN} \]

\[ \sum M_2 = 0 \]

\[ x_2 + 12 \cdot 3{,}5 - R_3 \cdot 7 = 0 \]

\[ R_3 = \frac{34{,}078}{7} = 4{,}868\, \text{kN} \]

\[ \sum y = 0 \]

\[ R_{2P} - 12 + R_3 = 0 \]

\[ R_{2P} = 12 - R_3 = 7{,}132\, \text{kN} \]

Kontrola poprawności obliczenia reakcji podporowych

\[ R_1 := R_{1L} + R_{1P} = 6{,}906\, \text{kN} \]

\[ R_2 := R_{2L} + R_{2P} = 8{,}16\, \text{kN} \]

\[ \sum y = 0 \]

Wyznaczenie ekstremum na wykresie momentów

\[ \frac{7{,}066}{x} = \frac{7{,}934}{5 - x} \]

\[ x := 2{,}355\, \text{m} \]

\[ M_{\text{ex}} := -1{,}5 + R_0 \cdot x - 3 \cdot \frac{x^2}{2} = 6{,}821\, \text{kNm} \]

Metody energetyczne - Układy statycznie niewyznaczalne

Wytrzymałość materiałów - Metody energetyczne - Układy statycznie niewyznaczalne - Przykład 3

Przykład 3