Charakterystyki geometryczne

Środek ciężkości

\begin{aligned} &z1=6 cm\\ &z2=8 cm\\ &y1=-3 cm\\ &y2=4 cm\\ &A_1=6\cdot 12=72 cm^2\\ &A_2=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12=72 m^2\\ &z_c=\frac{z1\cdot A_1+z2\cdot A_2}{A_1+A_2}=7 cm\\ &y_c=\frac{y1\cdot A_1+y2\cdot A_2}{A_1+A_2}=0,5 cm\\ \end{aligned}

Centralne momenty bezwładności

\begin{aligned} &I_y=\frac{6\cdot 12^3}{12}+72\cdot (6-7)^2+\frac{12\cdot 12^3}{36}+72\cdot (8-7)^2=1584 cm^4\\ &I_z=\frac{12\cdot 6^3}{12}+72\cdot (-3-0,5)^2+\frac{12\cdot 12^3}{36}+72\cdot (4-0,5)^2=2556 cm^4\\ &I_{yz}=0+72\cdot (6-7)\cdot (-3-0,5)+\frac{12^2\cdot 12^2}{72}+72\cdot (8-7)\cdot (4-0,5)=792 cm^4\\ \end{aligned}

Główne centralne momenty bezwładności

\begin{aligned} &I_1=\frac{I_z-I_y}{2}+\sqrt{(\frac{I_z-I_y}{2})^2+I_{yz}^2}=2999,23 cm^4\\ &I_2=\frac{I_z-I_y}{2}-\sqrt{(\frac{I_z-I_y}{2})^2+I_{yz}^2}=1140,77 cm^4\\ \end{aligned}

sprawdzenie: \(I_y+I_z=I_1+I_2\)

\begin{aligned} &tg(\varphi_1)=\frac{I_{yz}}{I_z-I_1}=-1,79\\ &\varphi_1=-60,77^o\\ &tg(\varphi_2)=\frac{I_{yz}}{I_z-I_2}=0,56\\ &\varphi_1=29,23^o\\ \end{aligned}

w celu ułatwienia oznaczeń do dalszych obliczeń przyjmuję oznaczenia \(I_1=I_z, I_2=I_y\)

\begin{aligned} &i_y^2=\frac{I_y}{A}=7,92 cm^2\\ &i_z^2=\frac{I_z}{A}=20,83 cm^2\\ \end{aligned}

Macierz przejścia z układu centralnego do układu głównego centralnego

Punkty narożne rdzenia przekroju

Współrzędne punktów w układzie głównym centralnym:

\begin{aligned} &A(y_c=-6,5; z_c=-7)\\ &y=0,87\cdot (-6,5)+0,49\cdot (-7)=-9,09\\ &z=0,49\cdot (-6,5)-0,87\cdot (-7)=2,93\\ &A(y=-9,09; z=2,93)\\ &B(y=-3,85; z=5,86)\\ &C(y=12,48; z=1,25)\\ &D(y=-3,23; z=-7,54)\\ \end{aligned}

Będziemy korzystać między innymi z równania prostej przez dwa punkty:

\(z-z_1=\frac{z_2-z_1}{y_2-y_1}\cdot (y-y_1)\)

oś obojętna AB

\begin{aligned} &z-2,93=\frac{5.86-2,93}{-3,85+9,09}\cdot (y+9,09)\\ &z=0,56y+8,02\\ \end{aligned}

dla \(z=0 a_y=-14,32 cm\)

dla \(y=0 a_z=8,02 cm\)

\begin{aligned} &y=-\frac{i_z^2}{a_y}=-\frac{20,83}{-14,32}=1,45 cm\\ &z=-\frac{i_y^2}{a_z}=-\frac{7,92}{8,02}=-0,99 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna BC

\begin{aligned} &z-5,86=\frac{1,25-5,86}{12,48+3,85}\cdot (y+3,85)\\ &z=-0,28y+4,78\\ \end{aligned}

dla \(z=0 a_y=17,07 cm\)

dla \(y=0 a_z=4,78 cm\)

\begin{aligned} &y=-\frac{i_z^2}{a_y}=-\frac{20,83}{17,07}=-1,22 cm\\ &z=-\frac{i_y^2}{a_z}=-\frac{7,92}{4,78}=-1,66 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna CD

\begin{aligned} &z-1,25=\frac{-7,54-1,25}{-3,23-12,48}\cdot (y-12,48)\\ &z=0,56y-5,74\\ \end{aligned}

dla \(z=0 a_y=10,25 cm\)

dla \(y=0 a_z=-5,74 cm\)

\begin{aligned} &y=-\frac{i_z^2}{a_y}=-\frac{20,83}{10,25}=2,03 cm\\ &z=-\frac{i_y^2}{a_z}=-\frac{7,92}{-5,74}=1,38 cm\\ \end{aligned}

oś obojętna DA

\begin{aligned} &z+7,54=\frac{2,93+7,54}{-9,09+3,23}\cdot (y+3,23)\\ &z=-1,79y-13,32\\ \end{aligned}

dla \(z=0 a_y=-7,44 cm\)

dla \(y=0 a_z=-13,32 cm\)

\begin{aligned} &y=-\frac{i_z^2}{a_y}=-\frac{20,83}{-7,44}=2,8 cm\\ &z=-\frac{i_y^2}{a_z}=-\frac{7,92}{-13,32}=0,59 cm\\ \end{aligned}

Rdzeń przekroju

Mimośrodowe działanie siły normalnej

Wytrzymałość materiałów - Mimośrodowe działanie siły normalnej - Przykład 3

Przykład 3