Charakterystyki geometryczne, centralne momenty bezwładności

\begin{aligned} &A_1 =1.5 \cdot 3.5 = 5.25 a^2\\ &A_2 =2 \cdot 2 = 4 a^2\\ &A_3 =1.5 \cdot 3 = 4.5 a^2\\ &A=A_1 +A_2 +A_3 = 13.75\\ \\ &y_1 =0.75 a\\ &y_2 =2.5 a\\ &y_3 =4.25 a\\ \\ &z_1 =1.75 a\\ &z_2 =2.5 a\\ &z_3 =3 a\\ &z_c=\frac{z_1 \cdot A_1+ z_2 \cdot A_2+z_3 \cdot A_3}{A_1 +A_2 +A_3}=2,38a\\ &y_c=\frac{y_1 \cdot A_1+ y_2 \cdot A_2+y_3 \cdot A_3}{A_1 +A_2 +A_3}=2,41a\\ \\ &I_{yc}=\frac{1,5\cdot 3,5^3}{12}+A_1\cdot (z_1-z_c)^2+\frac{2\cdot 2^3}{12}+A_2\cdot (z_2-z_c)^2+\frac{1,5\cdot 3^3}{12}+A_3\cdot (z_3-z_c)^2=13,94 a^4\\ &I_{zc}=\frac{3,5\cdot 1,5^3}{12}+A_1\cdot (y_1-y_c)^2+\frac{2\cdot 2^3}{12}+A_2\cdot (y_2-y_c)^2+\frac{3\cdot 1,5^3}{12}+A_3\cdot (y_3-y_c)^2=32,9 a^4\\ &J_{yczc}=0+A_1\cdot (y_1-y_c)(z_1-z_c)+0+A_2\cdot (y_2-y_c)(z_2-z_c)+0+A_3\cdot (y_3-y_c)(z_3-z_c)=10,667a^4\\ \end{aligned}

Główne centralne momenty bezwładności

\begin{aligned} &I_{1,2}=\frac{I_y+I_z}{2}pm \sqrt{(\frac{I_y-I_z}{2})^2+I_{yczc}^2}\\ &I_1=37,687a^4\\ &I_2=9,147a^4\\ \\ &tan\varphi_1=\frac{I_{yczc}}{I_{zc}-I_1}=-2,226\\ &\varphi_1=arctan(-2,226)=-65,81^o\\ \\ &tan\varphi_2=\frac{I_{yczc}}{I_{zc}-I_2}=0,449\\ &\varphi_1=arctan(0,449)=24,19^o\\ \end{aligned}

sprawdzenie:

\begin{aligned} &I_1+I_2=I_{yc}+I_{zc}\\ &L=P\\ \end{aligned}

Równanie z macierzy przejścia

\begin{aligned} &y_i=cos\varphi_1\cdot y_{ci}-sin\varphi_1\cdot z_{ci}\\ &z_i=sin\varphi_1\cdot y_{ci}+cos\varphi_1\cdot z_{ci}\\ \end{aligned}

Współrzędne w układzie centralnym

\begin{aligned} &e_{yc}=0,42a\\ &e_{zc}=-1,61a\\ \end{aligned}

Współrzędne w układzie głównym centralnym

\begin{aligned} &e_{zgc}=cos\varphi_1\cdot e_{yc}-sin\varphi_1\cdot e_{zc}=-1,3a\\ &e_{ygc}=sin\varphi_1\cdot e_{yc}+cos\varphi_1\cdot e_{zc}=-1,04a\\ \end{aligned}

Wyznaczenie równania osi obojętnej

\begin{aligned} &F_x=45 kN\\ &M_y=F_x\cdot e_{zgc}=-58,345a\\ &M_z=F_x\cdot e_{ygc}=-46,926a\\ \\ &\sigma_x=\frac{F_x}{A}+\frac{M_y}{I_1}z+\frac{M_z}{I_2}y\\ &\frac{F_x}{A}=3,273\\ &\frac{M_y}{I_1}=-1,548\\ &\frac{M_z}{I_2}=-5,13\\ \\ &\frac{3,273}{a^2}-\frac{1,548z}{a^3}-\frac{5,13y}{a^3}=0\\ &3,273a-1,548z-5,13y=0\\ &y=0, z=2,11a\\ &z=0, y=0,64a\\ \end{aligned} \(\sigma_{max}=\sigma_8\)

Współrzędne w układzie centralnym

\(y=-2,41a, z=1,12a\)

Współrzędne w układzie głównym centralnym

\begin{aligned} &y_{8gc}=cos\varphi_1\cdot 1,12a-sin\varphi_1\cdot (-2,41a)=-1,74a\\ &z_{8gc}=sin\varphi_1\cdot 1,12a+cos\varphi_1\cdot (-2,41a)=-2,01a\\ \\ &\sigma_8=\frac{3,273}{a^2}-\frac{1,548\cdot (-2,01a)}{a^3}-\frac{5,13\cdot (-1,74a)}{a^3}=\frac{15,31}{a^2} kPa\\ &\sigma_8le R=200\cdot 10^6\\ &age \sqrt{\frac{15,31\cdot 10^3}{200\cdot 10^6}}\\ &age 0,0087m\\ &a=0,0010m=1mm\\ \end{aligned}

Pole przekroju poprzecznego, momenty bezwładności główne centralne

\begin{aligned} &A=13,75\cdot 0,001^2=0,138 cm^2\\ &I_1=37,687\cdot 0,001^4=3,77\cdot 10^{-3} cm^4\\ &I_2=9,147\cdot 0,001^4=9,15\cdot 10^{-4} cm^4\\ \end{aligned}

Współrzędne punktów przekroju poprzecznego w układzie centralnym

\begin{aligned} &y_{c1}=-2,4a, z_{c1}=-2,38a\\ &y_{c2}=-0,9a, z_{c2}=-2,38a\\ &y_{c3}=-0,9a, z_{c3}=-0,88a\\ &y_{c4}=2,6a, z_{c4}=-0,88a\\ &y_{c5}=2,6a, z_{c5}=2,12a\\ &y_{c6}=1,1a, z_{c6}=2,12a\\ &y_{c7}=1,1a, z_{c7}=1,12a\\ &y_{c8}=-2,4a, z_{c8}=1,12a\\ \\ &z_i=cos\varphi_1\cdot y_{ci}-sin\varphi_1\cdot z_{ci}\\ &y_i=sin\varphi_1\cdot y_{ci}+cos\varphi_1\cdot z_{ci}\\ \end{aligned}

Współrzędne w układzie głównym centralnym

\begin{aligned} &z_1=cos\varphi_1\cdot z_{c1}-sin\varphi_1\cdot y_{c1}=-3,16mm\\ &y_1=sin\varphi_1\cdot z_{c1}+cos\varphi_1\cdot y_{c1}=1,19mm\\ \\ &z_2=cos\varphi_1\cdot z_{c2}-sin\varphi_1\cdot y_{c2}=-1,8mm\\ &y_2=sin\varphi_1\cdot z_{c2}+cos\varphi_1\cdot y_{c2}=1,8mm\\ \\ &z_3=cos\varphi_1\cdot z_{c3}-sin\varphi_1\cdot y_{c3}=-1,18mm\\ &y_3=sin\varphi_1\cdot z_{c3}+cos\varphi_1\cdot y_{c3}=0,43mm\\ \\ &z_4=cos\varphi_1\cdot z_{c4}-sin\varphi_1\cdot y_{c4}=2,01mm\\ &y_4=sin\varphi_1\cdot z_{c4}+cos\varphi_1\cdot y_{c4}=1,87mm\\ \\ &z_5=cos\varphi_1\cdot z_{c5}-sin\varphi_1\cdot y_{c5}=3,24mm\\ &y_5=sin\varphi_1\cdot z_{c5}+cos\varphi_1\cdot y_{c5}=-0,87mm\\ \\ &z_6=cos\varphi_1\cdot z_{c6}-sin\varphi_1\cdot y_{c6}=1,87mm\\ &y_6=sin\varphi_1\cdot z_{c6}+cos\varphi_1\cdot y_{c6}=-1,48mm\\ \\ &z_7=cos\varphi_1\cdot z_{c7}-sin\varphi_1\cdot y_{c7}=1,46mm\\ &y_7=sin\varphi_1\cdot z_{c7}+cos\varphi_1\cdot y_{c7}=-0,57mm\\ \\ &z_8=cos\varphi_1\cdot z_{c8}-sin\varphi_1\cdot y_{c8}=-1,73mm\\ &y_8=sin\varphi_1\cdot z_{c8}+cos\varphi_1\cdot y_{c8}=-2,01mm\\ \end{aligned}

Naprężenia normalne w punktach charakterystycznych przekroju

\begin{aligned} &\sigma_x=(3273-1548000\cdot z_i-5130000\cdot y_i)\cdot 10^{-3} [MPa]\\ \\ &\sigma_1=2,08 MPa\\ &\sigma_2=-3,19 MPa\\ &\sigma_3=2,88 MPa\\ &\sigma_4=-9,42 MPa\\ &\sigma_5=2,71 MPa\\ &\sigma_6=7,98 MPa\\ &\sigma_7=3,94 MPa\\ &\sigma_8=16,24 MPa\\ \end{aligned}

Bryła naprężeń

Mimośrodowe działanie siły normalnej

Wytrzymałość materiałów - Mimośrodowe działanie siły normalnej - Przykład 2

Przykład 2