Sprawdzenie reakcji podporowych

Poniżej obliczamy reakcje podporowe belki, stosując równania równowagi statycznej (momentów względem wybranych punktów).

\begin{aligned} &\sum M_{A}=0 \quad \text{(równanie równowagi momentów względem punktu A)} \\ &6 P \cdot 2 - V_{C} \cdot 4 - 3 P \cdot 7 = 0 \quad \text{(moment od siły 6P, reakcji }V_C\text{ i siły 3P)} \\ &V_{C}=-\frac{9}{4} P \quad \text{(wyznaczenie reakcji pionowej w punkcie C; znak minus oznacza przeciwny zwrot do przyjętego)} \\ &\sum M_{C}=0 \quad \text{(równanie równowagi momentów względem punktu C)} \\ &V_{A} \cdot 4 - 6 P \cdot 2 - 3 P \cdot 3 = 0 \quad \text{(moment od reakcji }V_A\text{ oraz sił skupionych)} \\ &V_{A}=\frac{21}{4} P \quad \text{(wyznaczenie reakcji pionowej w punkcie A)} \end{aligned}

Sprawdzenie nośności przekroju

Kolejny etap to analiza przekroju: wyznaczenie pola przekroju, położenia osi plastycznej (połowy pola), składników modułu plastycznego oraz porównanie maksymalnego momentu z nośnością przekroju przy zadanym naprężeniu plastycznym.

\begin{aligned} &A = 18 \cdot 2 + 20 \cdot 1{,}2 + 181{,}6 = 103{,}2 \,\mathrm{cm}^{2} \quad \text{(pole przekroju całkowitego: suma pól składowych)} \\ &\frac{A}{2} = 51{,}6 \,\mathrm{cm}^{2} \quad \text{(połowa pola — warunek do wyznaczenia osi plastycznej)} \\ &\frac{A}{2} = 18 \cdot 1{,}6 + 1{,}2\,x = 51{,}6 \quad \text{(równowaga pól nad i pod osią plastyczną zgodnie z rysunkiem)} \\ &x = 19 \quad \text{(odległość wyznaczająca położenie osi plastycznej)} \\ &S_{ypl1} = 18 \cdot 2{,}8 \cdot (1 + 1{,}4) + 1 \cdot 1{,}2 \cdot 12 = 121{,}56 \,\mathrm{cm}^{3} \quad \text{(składnik modułu plastycznego od górnej części przekroju)} \\ &S_{ypl2} = 18 \cdot 1{,}6 \cdot (19 + 0{,}8) + 19 \cdot 1{,}2 \cdot \frac{19}{2} = 786{,}84 \,\mathrm{cm}^{3} \quad \text{(składnik modułu plastycznego od dolnej części przekroju)} \\ &W_{pl} = 908{,}4 \,\mathrm{cm}^{3} \quad \text{(moduł plastyczny przekroju — suma składników)} \\ &\left|\frac{M}{W_{pl}}\right| \le \sigma_{P} \quad \text{(warunek nośności plastycznej: naprężenie obliczone z momentu nie może przekroczyć } \sigma_P\text{)} \\ &10{,}5\,P \le 908{,}4 \cdot 10^{-6} \cdot 195 \cdot 10^{6} \quad \text{(podstawienie wartości: }W_{pl}\text{ przeliczone na m}^3\text{ i } \sigma_P=195\,\text{MPa}) \\ &P \le \frac{908{,}4 \cdot 10^{-6} \cdot 195 \cdot 10^{6}}{10{,}5} = 16{,}87 \,\mathrm{kN} \quad \text{(maksymalna dopuszczalna siła obciążająca)} \end{aligned}

Krótki komentarz końcowy

W kroku pierwszym wyznaczyliśmy reakcje podporowe \(V_A\) i \(V_C\) stosując równania sumy momentów; znaki wyników odzwierciedlają przyjęty układ zwrotów sił.
W kroku drugim obliczyliśmy pole przekroju i położenie osi plastycznej, a następnie składniki modułu plastycznego, które dały \(W_{pl}\).
Porównując moment wywołany przez obciążenie (tu \(M = 10{,}5\,P\)) z nośnością przekroju \(W_{pl}\cdot\sigma_P\) otrzymaliśmy maksymalną dopuszczalną siłę \(P \approx 16{,}87\ \mathrm{kN}\).

Nośność graniczna

Wytrzymałość materiałów - Nośność graniczna - Przykład 1

Przykład 1