Sprawdzenie reakcji podporowych

Na początek obliczamy reakcje podporowe V_B i V_D belki, stosując równania równowagi momentów względem punktów B i D.

\begin{aligned} &\sum M_{B}=0 \quad \text{(równanie równowagi momentów względem punktu B)} \\ &-2P \cdot 4 - 3P \cdot 3 - V_D \cdot 6 = 0 \quad \text{(moment sił skupionych oraz reakcji }V_D) \\ &V_D = \frac{-17}{6}P \quad \text{(obliczenie reakcji pionowej w punkcie D; znak minus oznacza przeciwny zwrot do założonego)} \\ &\sum M_{D}=0 \quad \text{(równanie równowagi momentów względem punktu D)} \\ &-2P \cdot 10 + V_B \cdot 6 + 3P \cdot 3 = 0 \quad \text{(moment sił skupionych oraz reakcji }V_B) \\ &V_B = \frac{11}{6}P \quad \text{(obliczenie reakcji pionowej w punkcie B)} \end{aligned}

Sprawdzenie nośności przekroju

W kolejnym kroku obliczamy pole przekroju, położenie osi plastycznej, składniki modułu plastycznego oraz porównujemy moment wywołany siłą z nośnością przekroju przy danych parametrach wytrzymałości.

\begin{aligned} &A = 9 \,\mathrm{cm}^2 \quad \text{(pole przekroju całkowitego: suma pól składowych)} \\ &\frac{A}{2} = 4{,}5 \,\mathrm{cm}^2 \quad \text{(połowa pola - warunek do wyznaczenia osi plastycznej)} \\ &4{,}5 = 3 + 1 \cdot x \quad \text{(równowaga pól nad i pod osią plastyczną)} \\ &x = 1{,}5 \,\mathrm{cm} \quad \text{(odległość wyznaczająca położenie osi plastycznej)} \\ &S_{ypl1} = 3 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot \frac{1{,}5 \cdot 1{,}5}{2} = 7{,}125 \,\mathrm{cm}^3 \quad \text{(składnik modułu plastycznego od górnej części przekroju)} \\ &S_{ypl2} = 4{,}5 \cdot 1 \cdot \frac{4{,}5}{2} = 10{,}125 \,\mathrm{cm}^3 \quad \text{(składnik modułu plastycznego od dolnej części przekroju)} \\ &W_{pl} = 17{,}25 \,\mathrm{cm}^3 \quad \text{(moduł plastyczny przekroju - suma składników)} \\ &\sigma = \frac{M}{W_{pl}} \leq \sigma_P \quad \text{(warunek nośności plastycznej przekroju)} \\ &8{,}5P \leq 17{,}25 \cdot 10^{-6} \cdot 210 \cdot 10^{6} \quad \text{(podstawienie wartości modułu i naprężenia plastycznego)} \\ &P \leq \frac{17{,}25 \cdot 10^{-6} \cdot 210 \cdot 10^{6}}{8{,}5} = 0{,}43 \,\mathrm{kN} \quad \text{(maksymalna dopuszczalna siła obciążająca)} \end{aligned}

Krótki komentarz końcowy

W pierwszym kroku wyliczyliśmy reakcje podporowe V_B i V_D stosując równania równowagi momentów względem punktów B i D; znaki reakcji odzwierciedlają przyjęte układy zwrotów sił.
W drugim kroku obliczyliśmy pole przekroju i położenie osi plastycznej, które pozwoliły na wyznaczenie składników modułu plastycznego i jego sumy W_pl.
Na końcu porównaliśmy moment wywołany przez siłę P z nośnością przekroju określoną przez W_pl·σ_P, co dało graniczną wartość siły P ≈ 0,43 kN.

Nośność graniczna

Wytrzymałość materiałów - Nośność graniczna - Przykład 4

Przykład 4