Metoda statyczna - poszukiwanie współczynników nośności granicznej

Na podstawie schematów oraz danych z rysunków ustalamy wewnętrzne siły normalne w prętach:

\( N_2 = 2 A R_{pl} \quad \text{i} \quad N_3 = A R_{pl} \)

Sumujemy momenty względem punktu B dla pierwszego przypadku:

\( \sum M_B = N_1 \cdot 3a - 2 A R_{pl} \cdot 3a - A R_{pl} \cdot 6a = 0 \)

Stąd wyznaczamy \(N_1\):

\( N_1 = 4 A R_{pl} \); porównujemy do \(3 A R_{pl}\) - warunek nie jest spełniony, więc przypadek jest odrzucony (NIE).

Dla drugiego przypadku ustawiamy:

\( N_1 = 3 A R_{pl} \quad \text{i} \quad N_3 = A R_{pl} \)

Sumujemy momenty względem punktu B:

\( \sum M_B = 3 A R_{pl} \cdot 3a - N_2 \cdot 3a - A R_{pl} \cdot 6a = 0 \)

Stąd wyznaczamy \(N_2\):

\( N_2 = A R_{pl} \), warunek jest spełniony (OK).

Sumujemy momenty względem punktu C:

\( \sum M_C = 3 A R_{pl} \cdot 6a - P_z \cdot 3a - A R_{pl} \cdot 3a = 0 \)

Wyliczamy siłę zewnętrzną \(P_z\):

\( P_z = 5 A R_{pl} \)

Dla trzeciego przypadku:

\( N_1 = 3 A R_{pl} \quad \text{i} \quad N_2 = 2 A R_{pl} \)

Sumujemy momenty względem punktu B:

\( \sum M_B = 3 A R_{pl} \cdot 2a - 2 A R_{pl} \cdot 3a - N_3 \cdot 6a = 0 \)

Wyznaczamy \(N_3\):

\( N_3 = 0,5 \cdot A R_{pl} \), warunek spełniony (OK).

Sumujemy momenty względem punktu C:

\( \sum M_C = 3 A R_{pl} \cdot 9a - P_3 \cdot 6a + 2 A R_{pl} \cdot 3a = 0 \)

Wyliczamy siłę zewnętrzną \(P_3\):

\( P_3 = 5,5 \cdot A R_{pl} \)

Dla czwartego przypadku:

\( N_1 = 3 A R_{pl} \quad \text{i} \quad N_3 = - A R_{pl} \)

Sumujemy momenty względem punktu B:

\( \sum M_B = 3 A R_{pl} \cdot 3a - N_2 \cdot 3a + A R_{pl} \cdot 6a = 0 \)

Wyznaczamy \(N_2\):

\( N_2 = 5 A R_{pl} \); warunek nie jest spełniony (NIE).

Wartość nośności granicznej według metody statycznej

\[ P_{\mathrm{stat}} = \max \{ P_2, P_3 \} = 5,5 \cdot A R_{pl} \]

Metoda kinematyczna - wyznaczenie wartości krytycznych siły

Dla pierwszego układu przemieszczeń:

\( P \delta - 2 A R_{pl} \cdot 2 \delta - A R_{pl} \cdot 3\delta = 0 \)

Stąd:

\( P_1 = 7 A R_{pl} \)

Dla drugiego układu przemieszczeń:

\( P \delta - 3 A R_{pl} \cdot 2\delta - A R_{pl} \delta = 0 \)

Stąd:

\( P_2 = 7 A R_{pl} \)

Dla trzeciego układu przemieszczeń:

\( P \cdot 2\delta - 3 A R_{pl} \cdot 3\delta - 2 A R_{pl} \cdot \delta = 0 \)

Stąd:

\( P_3 = 5,5 A R_{pl} \)

Wartość nośności granicznej według metody kinematycznej

\[ P_{\mathrm{kin}} = \min \{ P_1, P_2, P_3 \} = 5,5 \cdot A R_{pl} \]

Końcowe wnioski

Obie metody dają zgodny wynik dla nośności granicznej belki:

\[ \boxed{ P_n = P_{\mathrm{kin}} = P_{\mathrm{stat}} = 5,5 \cdot A R_{pl} } \]

Dzięki temu wykazaliśmy kompletność rozwiązania i zgodność metod statycznej oraz kinematycznej.

Nośność graniczna

Wytrzymałość materiałów - Nośność graniczna - Przykład 7

Przykład 7