Ponieważ w treści zadania podano jedynie długości prętów na samym początku ustalimy wartości kątów \(\alpha\)oraz \(\beta\). Jak łatwo zauważyć z twierdzenia cosinusów mamy:

\(\left(3a\right)^2=\left(4a\right)^2+\left(2a\right)^2-2\cdot4a\cdot2a\cdot\cos{\beta} \)

Stąd

\(\cos{\beta}=\frac{11}{16}\)

Więc sam kąt \(\beta=\arccos{\left(\frac{11}{16}\right)}=46,567° \) , natomiast wartość sinusa:

\(\sin{\beta}=\frac{3\sqrt{15}}{16}\)

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczam wartość kąta \(\alpha\):

\begin{aligned} &\frac{2a}{\sin{\alpha}}=\frac{3a}{\sin{\beta}}\\ &sin\alpha=\frac{2}{3}\sin{\beta}=\frac{\sqrt{15}}{8}\\ \end{aligned}

Stąd kąt \(\alpha=28,955°\), natomiast wartość cosinusa: \(cos\alpha=\frac{7}{8}\)

Zadanie jest statycznie wyznaczalne, pierwszym krokiem będzie więc obliczenie wartości sił w prętach układu. Dla punktu A możemy zapisać:

\begin{array}{ll} \sum{F_x=0} &-P_2\cos{\alpha}+P_1\cos{\beta}=0\\ \sum{F_y=0} &-P_2\sin{\alpha}-P_1\sin{\beta}+P=0\\ \end{array} Założono, że oba pręty są rozciągane. Z pierwszego równania: \(P_2=P_1\frac{\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}\)

Podstawiając do drugiego:

\begin{aligned} &P_1\sin{\beta}+P_2\sin{\alpha}=P\\ &P_1\sin{\beta}+P_1\frac{\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}\sin{\alpha}=P\\ &P_1\left(\sin{\beta}+\frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}\right)=P\\ &P_1\left(\frac{\sin{\beta}\cos{\alpha}+\sin{\alpha}\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}\right)=P\\ &P_1=P\cdot\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\beta}\cos{\alpha}+\sin{\alpha}\cos{\beta}}\\ \end{aligned}

Wracając do zależności:

\begin{aligned} &P_2=P_1\frac{\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}\\ &P_2=P\cdot\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\beta}\cos{\alpha}+\sin{\alpha}\cos{\beta}}\frac{\cos{\beta}}{\cos{\alpha}}\\ &P_2=P\cdot\frac{\cos{\beta}}{\sin{\beta}\cos{\alpha}+\sin{\alpha}\cos{\beta}}\\ \end{aligned}

Podstawiając znane nam wartości kątów otrzymamy:

\begin{aligned} &P_1=\frac{7\sqrt{15}}{30}P\\ &P_2=\frac{11\sqrt{15}}{60}P\\ \end{aligned}

Jak widać pręty, zgodnie z założeniem, będą rozciągane. Ich wydłużenia to:

\begin{aligned} &\Delta_1=\frac{P_1l_1}{EA}=\frac{\frac{7\sqrt{15}}{30}P\cdot2a}{EA}=\frac{7\sqrt{15}}{15}\frac{Pa}{EA}\\ &\Delta_2=\frac{P_2l_2}{EA}=\frac{\frac{11\sqrt{15}}{60}P\cdot3a}{EA}=\frac{11\sqrt{15}}{20}\frac{Pa}{EA}\\ \end{aligned}

Aby wyznaczyć przemieszczenie naszkicujemy plan przemieszczeń, poprzez narysowanie wydłużeń oraz punktu przecięcia prostych prostopadłych do wydłużeń \(A\prime\) . Naszym celem jest wyznaczenie wartości wektora \(\vec{AA\prime} \) . Zapisujemy wersory kierunkowe wydłużeń: \begin{aligned} &\vec{e_1}=\left(-\cos{\beta},\sin{\beta}\right)\\ &\vec{e_2}=\left(\cos{\alpha},\sin{\alpha}\right)\\ \end{aligned} Korzystając z własności iloczynu wektorowego zapisujemy: \begin{aligned} &\vec{AA^\prime}\cdot\vec{e_1}=\Delta_1\\ &\vec{AA^\prime}\cdot\vec{e_2}=\Delta_2\\ &-x\cos{\beta}+y\sin{\beta}=\Delta_1\\ &x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=\Delta_2\\ \end{aligned}

Otrzymaliśmy układ dwóch równań z dwoma niewiadomymi, stąd bez problemu wyliczamy współrzędne punktu \(A^\prime\):

\begin{aligned} &-\frac{11}{16}x+\frac{3\sqrt{15}}{16}y=\frac{7\sqrt{15}}{15}\frac{Pa}{EA}\\ &\frac{7}{8}x+\frac{\sqrt{15}}{8}y=\frac{11\sqrt{15}}{20}\frac{Pa}{EA}\\ &x=\frac{43\sqrt{15}}{240}\frac{Pa}{EA}\\ &y=\frac{151}{48}\frac{Pa}{EA}\\ \end{aligned}

Stąd ostatecznie wektor przemieszczenia \(\vec{AA^\prime}=\left(\frac{43\sqrt{15}}{240},\frac{151}{48}\right)\frac{Pa}{EA}\)

Jego długość zaś: \(\left|\vec{AA^\prime}\right|=\sqrt{\left(\frac{43\sqrt{15}}{240}\right)^2+\left(\frac{151}{48}\right)^2}\frac{Pa}{EA}=\frac{\sqrt{2335}}{15}\frac{Pa}{EA}=3,22\frac{Pa}{EA}\)

Rozciąganie i ściskanie osiowe

Wytrzymałość materiałów - Rozciąganie i ściskanie osiowe - Przykład 17

Przykład 17