Poniżej przedstawiono kolejne kroki rozwiązania zadania, polegającego na wyznaczeniu sił wewnętrznych w ramołuku.

1. Obliczanie reakcji podporowych

Pierwszym krokiem jest wyznaczenie wartości reakcji w podporach A i B. W tym celu wykorzystujemy trzy podstawowe równania równowagi statycznej dla całego ustroju oraz dodatkowe równanie wynikające z obecności przegubu wewnętrznego M.

Z sumy momentów względem podpory A (ΣM_A = 0) wyznaczamy reakcję pionową V_B.
Z sumy rzutów sił na oś pionową (ΣY = 0) obliczamy reakcję V_A.
Wykorzystując przegub M, z sumy momentów dla prawej części układu (odcinek MB) względem tego przegubu (ΣM_M = 0) wyznaczamy reakcję poziomą H_B.
Z sumy rzutów sił na oś poziomą (ΣX = 0) stwierdzamy, że reakcja H_A jest równa H_B.

\begin{aligned} &\Sigma M_{A}=0 \\ &-P \cdot 2+q \cdot 6 \cdot 3+M-V_{B} \cdot 9=0 \\ &V_{B}=\frac{-P \cdot 2+q \cdot 6 \cdot 3+M}{9}=84.444 k N \\ &\Sigma Y=0 \\ &V_{A}+V_{B}+P-6 q=0 \\ &V_{A}=-\left(V_{B}+P-6 q\right)=125.556 k N \\ &\Sigma_{B}:=\frac{-1}{3}\left(M-V_{B} \cdot 3\right)=51.111 k N \end{aligned} $$ \begin{aligned} &\Sigma X=0 \\ &H_{A}=H_{B}=51.111 \quad k N \end{aligned} $$

2. Równania geometryczne łuku parabolicznego

Aby wyznaczyć siły wewnętrzne, konieczne jest opisanie kształtu osi łuku za pomocą równań. Potrzebujemy równania krzywej y(x), a także wartości sinusa i cosinusa kąta φ, jaki tworzy styczna do łuku z poziomem w dowolnym punkcie.

Kształt osi łuku parabolicznego:

$$ \begin{aligned} &y=\frac{4 f}{l^{2}} x \cdot(l-x) \\ &\frac{d y}{d x}=\tan (\varphi)=\frac{4 f}{l^{2}}(l-2 x) \end{aligned} $$

Wartości funkcji trygonometrycznych kąta φ:

$$ \begin{aligned} &\sin (\varphi)=\frac{\tan (\varphi)}{\sqrt{1+\tan (\varphi)^{2}}} \\ &\cos (\varphi)=\frac{1}{\sqrt{1+\tan (\varphi)^{2}}} \end{aligned} $$

Podstawiając dane z zadania (f=3, l=12), otrzymujemy konkretne wzory dla analizowanego łuku:

\begin{aligned} &f:=3 \quad l:=12 \\ &y^{\prime}=\tan \varphi=\frac{4 f}{l^{2}}(l-2 x)=1-\frac{x}{6} \\ &y=\frac{4 f}{l^{2}} x \cdot(l-x)=-\frac{x^{2}}{12}+x \\ &y(2)=-\frac{2^{2}}{12}+2=\frac{5}{3} \end{aligned}

3. Transformacja sił do układu lokalnego

Siły wewnętrzne – siła normalna N i siła tnąca T – są zdefiniowane w lokalnym układzie współrzędnych, którego osie są odpowiednio normalna (η) i styczna (τ) do osi pręta. Aby je obliczyć, należy zrzutować siły zewnętrzne (w tym reakcje podporowe) na te osie. Poniższy schemat i wzory pokazują, jak zrzutować reakcje V_A i H_A na kierunek normalny i styczny.

Dla łuku parabolicznego:

$$ \begin{aligned} &N=-V_{A} \cdot \sin (\varphi)-H_{A} \cdot \cos (\varphi) \\ &T=V_{A} \cdot \cos (\varphi)-H_{A} \cdot \sin (\varphi) \end{aligned} $$

4. Wyznaczanie sił wewnętrznych w przedziałach

Teraz możemy przystąpić do wyznaczania funkcji sił wewnętrznych w poszczególnych przedziałach.

Przedział AC

Rozpatrujemy fragment łuku od podpory A do punktu C, wykonując myślowe cięcie w odległości x od początku układu. Siły wewnętrzne N(x), T(x) i M(x) obliczamy z warunków równowagi dla odciętego fragmentu.

Do wzorów na siłę tnącą i normalną, oprócz rzutów reakcji, dochodzą rzuty sił od obciążenia zewnętrznego działającego na rozpatrywanym odcinku. Moment zginający M(x) jest sumą momentów od reakcji V_A i H_A oraz od obciążeń zewnętrznych.

$$ \begin{aligned} &x(0 ; 2) \\ &T(x)=125.556 \cdot \cos \varphi-51.111 \cdot \sin \varphi-40 x \cdot \cos (\varphi) \\ &N(x)=-125.556 \cdot \sin \varphi-51.111 \cdot \cos \varphi+40 x \cdot \sin (\varphi) \\ &M(x)=125.556 x-51.111 y-40 \cdot x \cdot \frac{x}{2} \\ &M(x)=125.556 x-51.111\left(x-\frac{x^{2}}{12}\right)-40 \cdot x \cdot \frac{x}{2} \end{aligned} $$

Siły wewnętrzne - układy złożone

Wytrzymałość materiałów - Siły wewnętrzne - układy złożone - Przykład 1

Przykład 1