Współczynniki \(\alpha i \beta\) występujące we wzorach na moment bezwładności i wskaźnik wytrzymałości na skręcanie podano w tabeli poniżej (zależą one od stosunku h/b, gdzie b to z umowy krótszy bok):

\begin{aligned}\\ &M_{CD}=M_D\\ &M_{BC}=M_D+50\\ &M_{AB}=M_D+20\\ \end{aligned}

Część AB

\begin{aligned}\\ &h/b=8/4=2\\ &\alpha (2)=0,246\\ &\beta (2)=0,229\\ \end{aligned}

Jeżeli w tabeli nie ma współczynników dla h/b którego szukamy to musimy interpolować wartości z sąsiednich danych.

Część BD

\begin{aligned}\\ &h/b=11/7=1,57\\ &\alpha (1,4)=0,228\\ &\alpha (1,6)=0,234\\ \end{aligned}

Interpolacja liniowa:

\begin{aligned}\\ &\alpha (1,57)=0,228+\frac{0,234-0,228}{0,2}\cdot 0,17=0,2331\\ &\beta (1,4)=0,187\\ &\beta (1,6)=0,204\\ &\beta (1,57)=0,187+\frac{0,204-0,187}{0,2}\cdot 0,17=0,20145\\ \end{aligned}

Moment bezwładności na skręcanie dla przekroju prostokątnego

\begin{aligned}\\ &I=\beta b^3 h\\ &I_{AB}=0,229\cdot 0,04^3\cdot 0,08=1,17\cdot 10^{-6}\ m^4\\ &I_{BD}=0,20145\cdot 0,07^3\cdot 0,11=7,6\cdot 10^{-6}\ m^4\\ \end{aligned}

Dla ułatwienia dalszych obliczeń wyznaczam stosunek \begin{aligned}\\ &\frac{I_{BD}}{I_{AB}}\\ \end{aligned}

\begin{aligned}\\ &\frac{I_{BD}}{I_{AB}}=\frac{7,6\cdot 10^{-6}}{1,17\cdot 10^{-6}}=6,5\ \Rightarrow I_{BD}=6,5I_{AB}\\ \end{aligned}

Warunek geometryczny - całkowity kąt skręcenia jest równy 0: \(\varphi_c =0\)

\begin{aligned}\\ &\varphi=\frac{M_S\cdot l}{G\cdot I}\\ \\ &\varphi_c=\varphi_{CD}+\varphi_{BC}+\varphi_{AB}=0\\ &\varphi_c=\frac{M_D\cdot 2}{G\cdot 6,5I_{AB}}+\frac{(M_D+50)\cdot 2}{G\cdot 6,5I_{AB}}+\frac{(M_D+20)\cdot 3}{G\cdot I_{AB}}=0\ |\cdot GI_{AB}\\ &\frac{4}{13}M_D+\frac{4}{13}M_D +\frac{4}{13}\cdot 50+3M_D+60=0\\ &3,615M_D=-75,385\\ &M_D=-20,85\ kNm\\ \end{aligned}

Warunek równowagi statycznej

\begin{aligned}\\ &\sum M=0\\ &-M_A+20+M_D=0\\ &M_A=-0,85\ kNm\\ \end{aligned}

Naprężenia styczne

\begin{aligned}\\ &\tau =\frac{M_S}{W_S}\\ \end{aligned}

Wskaźnik wytrzymałości na skręcanie dla przekroju prostokątnego

\begin{aligned}\\ &W_S=\alpha b^2 h\\ \\ &W_{S_{AB}}=0,246\cdot 0,04^2\cdot 0,08=3,15\cdot 10^{-5}\ m^3\\ &W_{S_{BD}}=0,20145\cdot 0,07^2\cdot 0,11=1,086\cdot 10^{-4}\ m^3\\ \\ &\tau_{AB}=\frac{M_{AB}}{W_{S_{AB}}}=\frac{-0,85\cdot 10^3}{3,15\cdot 10^{-5}}=-26,98\ MPa\\ &\tau_{BC}=\frac{29,15\cdot 10^3}{1,086\cdot 10^{-4}}=268,42\ MPa\\ &\tau_{CD}=\frac{-20,85\cdot 10^3}{1,086\cdot 10^{-4}}=-191,99\ MPa\\ \end{aligned}

Kąt skręcenia:

\begin{aligned}\\ &\varphi_A=\varphi_D=0\\ &\varphi_B=\varphi_A+\varphi_{AB}\\ &\varphi_C=\varphi_B+\varphi_{BC}\\ \\ &\varphi=\frac{M_S\cdot l}{G\cdot I}\\ &G=\frac{E}{2(1+\nu)}\ \Rightarrow G=80,77\ GPa\\ \\ &\varphi_B=\frac{-0,85\cdot 10^3\cdot 3}{80,77\cdot 10^9\cdot 1,17\cdot 10^{-6}}=-0,027\ rad=-1,55^o\\ &\varphi_C=\varphi_B+\frac{29,15\cdot 10^3\cdot 2}{80,77\cdot 10^9\cdot 7,6\cdot 10^{-6}}=-0,027+0,095=0,068\ rad=3,9^o\\ \end{aligned}

Wykresy

Skręcanie

Wytrzymałość materiałów - Skręcanie - Przykład 3

Przykład 3