Przypadek z którego korzystaliśmy dotychczas, gdzie moment skręcający jest wartością stałą to poniekąd przypadek szczególny. W tym przykładzie skorzystamy z rozwiązania dla przypadku ogólnego. Kąt skręcenia dwóch przekrojów odległych o x jest równy:

\(\varphi=\int_{0}^{x} \frac{M_{s}(x)}{G I_{0}} d x\)

Wobec tego potrzebować będziemy funkcji momentów w przedziałach charakterystycznych.

\begin{aligned} &x_{1} \in<0 ; a> \\ &M\left(x_{1}\right)=M \\ &x_{2} \in<0 ; a> \\ &M\left(x_{2}\right)=-2 M \\ &x_{3} \in<0 ; a> \\ &M\left(x_{3}\right)=0 \end{aligned}

Wskaźniki wytrzymałości na skręcanie i naprężenia styczne:

\begin{aligned} &W_{1}=\frac{\pi \cdot\left(\frac{2}{3} d\right)^{3}}{16}=\frac{\pi d^{3}}{54} \\ &W_{2}=W_{3}=\frac{\pi d^{3}}{16} \\ &\tau_{1}=\frac{54 M}{\pi d^{3}} \\ &\tau_{2}=\frac{-2 M \cdot 16}{\pi d^{3}}=-\frac{32 M}{\pi d^{3}} \\ &\tau_{3}=0 \end{aligned}

Warunek bezpieczeństwa:

\(\tau_{\max } \leq k \frac{54 M}{\pi d^{3}} \leq k \Rightarrow d \geq \sqrt[3]{\frac{54 M}{\pi k}}\)

Obliczamy momenty bezwładności na skręcanie (potrzebne do obliczenia kąta skręcenia).

\begin{aligned} &I_{1}=\frac{\pi \cdot\left(\frac{2}{3} d\right)^{4}}{32}=\frac{\pi d^{4}}{162} \\ &I_{2}=I_{3}=\frac{\pi d^{4}}{32} \end{aligned}

Całkowity kąt skręcenia:

\begin{aligned} &\varphi_{c}=\int_{0}^{a} \frac{M\left(x_{1}\right)}{G I_{1}} d x_{1}+\int_{0}^{a} \frac{M\left(x_{2}\right)}{G I_{2}} d x_{2}+\int_{0}^{a} \frac{M\left(x_{3}\right)}{G I_{3}} d x_{3} \\ &\varphi_{c}=\frac{M}{G I_{1}} \int_{0}^{a} d x_{1}+\frac{-2 M}{G I_{2}} \int_{0}^{a} d x_{2}+\frac{0}{G I_{3}} \int_{0}^{a} d x_{3}= \\ &=\frac{162 M}{G \pi d^{4}} a-\frac{64 M}{G \pi d^{4}} a=\frac{98 M a}{G \pi d^{4}} \end{aligned}

Skręcanie

Wytrzymałość materiałów - Skręcanie - Przykład 7

Przykład 7