Opis ruchu w układzie kartezjańskim

Wstęp teoretyczny

Rozwiń

Punkt w przestrzeni ma trzy stopnie swobody, wobec tego jego położenie można określić podając trzy równania ruchu. We współrzędnych prostokątnych będą to równania:
$x=f(t), y=f(t), z=f(t)$
skąd składowe prędkości
$v_x=\frac{dx}{dt}=\dot{x} \\ v_y=\frac{dy}{dt}=\dot{y} \\ v_z=\frac{dz}{dt}=\dot{z}\\$
Prędkość całkowita punktu (zawsze styczna do toru):
$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$
Składowe przyspieszenia punktu:
$a_x=\frac{dv_x}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=\ddot{x} \\ a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}=\ddot{y} \\ a_z=\frac{dv_z}{dt}=\frac{d^2z}{dt^2}=\ddot{z}$
Przyspieszenie całkowite:
$a=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}$
Ruch punktu można również opisać podając:
– równanie toru
$f(x,y,z)=0$
– równanie ruchu po torze
$s=f(t)$
Prędkość punktu wynosi wówczas
$v=\frac{ds}{dt}=\dot{s}$
składowa styczna przyspieszenia:
$a_t=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2s}{dt^2}=\ddot{s}$
a składowa normalna:
$a_n=\frac{v^2}{\rho}$
gdzie $\rho$ jest promieniem krzywizny toru.
Przyspieszenie całkowite punktu określone jest wzorem:
$a=\sqrt{a_t^2+a_n^2}$

Temat

Dane są równania ruchu punktu: $x=f(t), y=f(t)$ (lub opisane wektorem promieniem wodzącym $\overline{r}=\overline{r}(t)$ )
Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie, tor punktu, początek toru, kierunek ruchu i równanie ruchu po torze.

Ruch punktu opisany równaniami skończonymi / wektorem promieniem wodzącym

Przykład 1

Równanie ruchu punktu określone jest równaniem:
$x=4+2t, \\ y=1+4t$

Przykład 2

Równanie ruchu punktu określone jest równaniem:
$x=3t, \\ y=2-9t$ .

Przykład 3

Równanie ruchu punktu określone jest równaniem:
$x=4+3t^2, \\ y=2+6t^2$ .

Przykład 4

Równanie ruchu punktu określone jest równaniem:
$x=6t^3, \\ y=4-2t^3$ .

Przykład 5

Dane są równania ruchu punktu opisane wektorem promieniem wodzącym
$\overline{r}=(2+3t)\overline{i}+(1-2t)\overline{j}+(2+t)\overline{k}$

Przykład 6

Dane są równania ruchu punktu opisane wektorem promieniem wodzącym
$\overline{r}=(3\cdot cos\frac{\pi t}{6})\overline{i}+(1+3\cdot sin\frac{\pi t}{6})\overline{j}$

Przykład 7

Dane są równania ruchu punktu opisane wektorem promieniem wodzącym
$\overline{r}=(6\cdot cos2t)\overline{i}+(t)\overline{k}$

Przykład 8

Dane są równania ruchu punktu opisane wektorem promieniem wodzącym
$\overline{r}=(3\cdot cos(t^2))\overline{i}+(3\cdot sin(t^2))\overline{j}$

Course Information

Kurs Instructors

Łukasz Cichowicz Autor

Grzegorz Mazur Autor