Równania Lagrange’a II rodzaju

Wstęp teoretyczny

Rozwiń

Uwaga ogólna 1

Istnieje kilka wariantów zapisu równań Lagrange’a II rodzaju.
Najprościej, moim zdaniem, korzystając z definicji lagrangianu:

\begin{aligned} &\mathcal{L}=E_k-E_p\\ &\frac{d}{dt}\left(\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta\dot{q}}\right)-\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta q}=Q\\ \end{aligned}

Gdzie $q$ – współrzędna uogólniona, $Q$ – siły uogólnione.
Ten zapis będzie preferowany, jest uniwersalny – w niektórych zagadnieniach energia kinetyczna może być uzależniona wprost od współrzędnej uogólnionej, ale podstawowy zapis jest inny:

\begin{aligned} \frac{d}{dt}\left(\frac{\delta E_k}{\delta\dot{q}}\right)-\frac{\delta E_k}{\delta q}=Q \end{aligned}

Ale wyróżniając z sił uogólnionych siły w polu potencjalnym:

\begin{aligned} &Q=-\frac{\delta E_p}{\delta t}\\ & \frac{d}{dt}\left(\frac{\delta E_k}{\delta\dot{q}}\right)-\frac{\delta E_k}{\delta q}=Q-\frac{\delta E_p}{\delta q}\\ & \frac{d}{dt}\left(\frac{\delta E_k}{\delta\dot{q}}\right)-\frac{\delta E_k}{\delta q}+\frac{\delta E_p}{\delta q}=Q\\ \end{aligned}

Otrzymuje w ten sposób ostatni sposób zapisu, oczywiście wyniki będą takie same, ale w zależności od zadania czasami prościej będzie używać innego wariantu (szczególnie dotyczy to zadań ze sprężynami).