🎞️ Przykład 1

Powrót do: MP – Ramy – obciążenia statyczne

Treść

Narysować wykresy sił wewnętrznych M,Q,N. Wykonać sprawdzenie kinematyczne i statyczne.

Rozwiązanie video

Rozwiązanie

1. Wyznaczenie stopnia kinematycznej niewyznaczalności:

\begin{aligned} &SKN=\sum \varphi +\sum \Delta\\ &SKN=1+1=2\\ \end{aligned}

2. Wybranie układu podstawowego metody przemieszczeń (UPMP):

Układ równań:

\begin{aligned} &r_{11}\cdot\varphi_{1} +r_{12}\cdot\Delta_{2}+r_{1p}=0\\ &r_{21}\cdot\varphi_{1} +r_{22}\cdot\Delta_{2}+r_{2p}=0\\ \end{aligned}

3. Wykresy i wyznaczenie współczynników i wyrazów wolnych równania:

Wyznaczenie współczynników UPMP

\begin{aligned} &r_{11}=\frac{3EI}{5}+\frac{3EI}{4}=\frac{27EI}{20}\\ &r_{21}=-\frac{3EI}{16}\\ \end{aligned}

Wyznaczenie współczynników UPMP

\begin{aligned} &r_{12}=-\frac{3EI}{16}\\ &r_{22}=\frac{3EI}{32}\\ \end{aligned}

Wyznaczenie współczynników UPMP

\begin{aligned} &r_{1p}=-25\\ &r_{2p}=-3,75\\ \end{aligned}

4. Rozwiązanie układu równań:

\begin{aligned} &\frac{27EI}{20}\cdot\varphi_{1} -\frac{3EI}{16}\cdot\Delta_{2}=25\\ &-\frac{3EI}{16}\cdot\varphi_{1} +\frac{3EI}{32}\cdot\Delta_{2}=3,75\\ \\ &\varphi_{1} =33,33/EI\\ &\Delta_{2}=106,67/EI\\ \end{aligned}

5. Wykresy ostateczne sił przekrojowych w ramie:

Wykres momentów:

\begin{aligned} &M_{ost}=M_{p}+M_{1} \cdot \varphi_{1}+M_{2} \cdot \Delta_{2}\\ \end{aligned}

Wykresy sił poprzecznych:
Element BC:

\begin{aligned} &\sum{M_{C}}=0\\ &{Q_{BC}}\cdot 5-5-8\cdot 5\cdot 2,5=0\\ &{Q_{BC}}=21\\ &\sum{Y}=0\\ &-{Q_{CB}}+21-40=0\\ &{Q_{CB}}=-19\\ \end{aligned}

Współrzędna ekstremalnej wartości momentu w elemencie BC:

\begin{aligned} &\frac{x}{21}=\frac{5-x}{19}\\ &x=2,625\\ \end{aligned}

Element AB:

\begin{aligned} &\sum{M_{A}}=0\\ &{Q_{BA}}\cdot 4+5=0\\ &{Q_{BA}}=-1,25\\ &{Q_{AB}}=-1,25\\ \end{aligned}

Element CD:

\begin{aligned} &\sum{M_{D}}=0\\ &{Q_{CD}}\cdot 4+10-15=0\\ &{Q_{CD}}=1,25\\ &{Q_{DC}}=1,25\\ \end{aligned}

Wykresy sił osiowych:

węzeł B

\begin{aligned} &\sum{X}=0\\ &N_{BC}=-1,25\\ &\sum{Y}=0\\ &N_{BA}=-21\\ \end{aligned}

węzeł C

\begin{aligned} &\sum{X}=0\\ &N_{CB}=-1,25\\ &\sum{Y}=0\\ &N_{CD}=-19\\ \end{aligned}

6. Sprawdzenie kinematyczne:

Przyjmujemy układ wyznaczalny i rysujemy wykres momentów od siły jednostkowej. (stopień statycznej niewyznaczalności SSN=1)

\begin{aligned} &\delta_1 =\int \frac{M_{ost}\cdot M_{1}}{EJ} dx= \frac{1}{EI} \left( -\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 5\cdot 4 -\frac{1}{3} \cdot 1\cdot 5\cdot 5 +\frac{1}{3} \frac{8\cdot 5^2}{8} \cdot 1 \cdot 5 -\frac{4}{6} \cdot (2\cdot 1\cdot 15 + 10)\right) \approx 0\\ \end{aligned}

6. Sprawdzenie statyczne:

\begin{aligned} &\sum{X}=0 \hspace{2cm} 1,25-1,25=0\\ &\sum{Y}=0 \hspace{2cm} 21+19-4\cdot8=0\\ &\sum{M_{D}}=0\hspace{1.65cm} 21\cdot 2,5-1,25\cdot 4+10-15+1,25\cdot 4-19\cdot 2,5=0\\ \end{aligned}