Treść

Oblicz zakres wartości siły P dla którego układ pozostanie w spoczynku. Dane: \mu,\ W,\ Q,\ \alpha,\ r .

Rozwiązanie

Uwalniamy układ od więzów, dzielimy na dwa podukłady dla których przyjmujemy układ odniesienia jak na rysunku.

Ruch w górę równi nie nastąpi jeżeli T_1<\mu N_1 , możemy wtedy mówić o maksymalnej wartości siły P, jeżeli jej wartość byłaby większa nastąpiłby ruch układu w górę równi, więc P<P_{max} . Oznaczamy siłę tarcia ze zwrotem przeciwnym do ruchu układu pod nieobecność siły tarcia.
Ruch w dół równi nie nastąpi jeżeli {-T}1<\mu N_1, możemy wtedy mówić o minimalnej wartości siły P, jeżeli jej wartość byłaby mniejsza nastąpiłby ruch układu w dół równi, więc P{min}<P. Oznaczamy siłę tarcia ze zwrotem zgodnym z ruchem układu pod nieobecność siły tarcia.
Oba warunki łącznie możemy zapisać jako \left|T_1\right|<\mu N.

Zapisujemy warunki równowagi obu podukładów oraz równanie tarcia:

\begin{aligned} &\text{I}\\ &\sum{F_{x1}=0}\ P-N_3-T_1=0\\ &\sum{F_{y1}=0}\ W-N_1=0\\ &T_1=N_1\mu\\ &\text{II}\\ &\sum{F_{x2}=0}\ N_3\cos{\alpha}-Q\sin{\alpha}=0\\ &\sum{F_{y2}=0}\ {-N}_3\sin{\alpha}-Q\cos{\alpha}+N_2=0\\ \end{aligned}

Aby obliczyć wartości siły P z układu II obliczam N_3

N_3=Q\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=Q\tan{\alpha}

Z układu I po przekształceniach wyliczam P:

\begin{aligned} &N_1=W\\ &P-N_3-N_1\mu=0\\ &P=N_3+W\mu=Q\tan{\alpha}+W\mu\\ \end{aligned}

W obliczeniach dla minimalnej wartości siły P zmieni się jedynie równanie dla układu I

\begin{aligned} &\text{I}\\ &\sum{F_{x1}=0}\ P-N_3+T_1=0\\ \end{aligned}

Pozostałe równania bez zmian, rozwiązanie:

P=N_3-T_1=\ Q\tan{\alpha}-W\mu

Ostatecznie:

Q\tan{\alpha}-W\mu < P < Q\tan{\alpha}+W\mu