Powrót do: Równowaga płaskich zbieżnych układów sił
Treść
Określić siły wewnętrzne w układzie jak na rysunku. Dane: G=100 N, \alpha=30\degree, \beta=60\degree
Rozwiązanie
Zadanie rozwiążemy dwoma metodami – analitycznie oraz graficznie.
Początkowy tok postępowania jest w obu przypadkach taki sam:
- Wyodrębnienie myślowo węzła tj. przegubu A
- Naniesienie obciążenia zewnętrznego – ciężaru G
- Uwolnienie od więzów poprzez uzewnętrznienie sił wewnętrznych w prętach AB oraz AC metodą myślowych przecięć
- Naniesienie układu współrzędnych Oxy
Metoda analityczna
Zapisujemy równania równowagi
\begin{array}{lll} \sum{F_{x}}=0 & -N_{AB}\sin{\alpha}+N_{AC}\sin{\beta}=0& (1)\\ \sum{F_{y}}=0 & N_{AB}\cos{\alpha}+N_{AC}\cos{\beta}-G=0& (2)\\ \end{array}Rozwiązujemy powyższy układ równań
\begin{aligned} &(1)\quad -N_{AB}\sin{\alpha}+N_{AC}\sin{\beta}=0\\ &N_{AB}=N_{AC}\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}\\ &(2)\quad N_{AB}\cos{\alpha}+N_{AC}\cos{\beta}-G=0\\ &N_{AC}\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}\cos{\alpha}+N_{AC}\cos{\beta}=G\\ &N_{AC}\frac{\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}+\cos{\alpha}\cdot \sin{\beta}}{\sin{\alpha}}=G\\ &N_{AC}=G\cdot\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}+\cos{\alpha}\cdot \sin{\beta}}\\ &N_{AB}=N_{AC}\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}=G\cdot\frac{\sin{\alpha}}{\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}+\cos{\alpha}\cdot \sin{\beta}}\cdot \frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}}=G\cdot\frac{\sin{\beta}}{\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}+\cos{\alpha}\cdot \sin{\beta}}\\ \end{aligned}Podstawiamy wartości liczbowe
\begin{aligned} &N_{AB}=100\cdot\frac{\sin{60\degree}}{\sin{30\degree}\cdot \cos{60\degree}+\cos{30\degree}\cdot \sin{60\degree}}=86,60\space[N]\\ &N_{AC}=100\cdot\frac{\sin{30\degree}}{\sin{30\degree}\cdot \cos{60\degree}+\cos{30\degree}\cdot \sin{60\degree}}=50,00\space[N]\\ \end{aligned}Powyższe wyrażenia można było znacząco uprościć korzystając z tożsamości trygonometrycznych, ponieważ:
\sin({\alpha+\beta})=\sin{\alpha}\cdot\cos{\beta}+\cos{\alpha}\cdot\sin{\beta}Więc w naszym przypadku:
\begin{aligned} &N_{AB}=G\cdot\frac{\cos{\alpha}}{\sin({\alpha+\beta})}=G\cdot \frac{\cos{30\degree}}{\sin {90\degree}}=G \cos{30\degree}\\ &N_{AC}=G\cdot\frac{\sin{\alpha}}{\sin({\alpha+\beta})}=G\cdot \frac{\sin{30\degree}}{\sin {90\degree}}=G \sin{30\degree}\\\\ \end{aligned}Metoda graficzna
Rysujemy zamknięty wielobok sił działających na węzeł
Jak łatwo zauważyć możemy skorzystać z twierdzenie sinusów
\frac{G}{\sin{\gamma}}=\frac{N_{AB}}{\sin{60\degree}}=\frac{N_{AC}}{\sin{30\degree}}Jak łatwo zauważyć w naszym przypadku \gamma=180\degree-60\degree-30\degree=90\degree -> \sin{\gamma}=1 N_{AB}=G\sin{60\degree}\\ N_{AC}=G\sin{30\degree}\\
Jak widać wyniki są dokładnie takie same jak w metodzie analitycznej.